Exercícios Resolvidos de Teorema de Bolzano

Enunciado

Seja f x =   x 2 - 1 . Justifique a afirmação: f tem pelo menos uma raiz no intervalo [ 0 ,   2 ] .

Passo 1

E aíííí?! Vamos cair pra dentro de mais um exercício envolvendo o teorema de Bolzano?! Pera... Você falou teorema de Bolzano?

Isso mesmo, meu pupilo!! Se você reparar, queremos provar que existe uma raiz no intervalo [ 0,2 ] para a função f x = x 2 - 1 , e podemos garantir que vai existir uma raiz num determinado intervalo pelo Teorema de Bolzano (se as condições do teorema forem satisfeitas, né?! Rs)

Tá... mas o que esse teorema diz?

Esse teorema diz que se acontecer o caso de f a . f b < 0 , dizemos que existe pelo menos uma raiz com valor igual a ξ ( x = ξ ) entre o intervalo [a,b].

Calma!!! No fundo o que temos que fazer é testar valores na função e verificar se a multiplicação deles dará um valor menor do que zero. Se isso acontecer, o teorema nos garante que tem uma raiz no intervalo entre esses pontos.

Vamos fazer com calma passo a passo!

Passo 2

Vamos pegar os extremos do intervalo e substituir na função do enunciado pra ver o que vai acontecer! Assim, calculando f 0 e f 2 temos:

f x = x 2 - 1

Substituindo x = 0 temos

f 0 = 0 2 - 1

Fazendo as continhas, temos

f 0 = - 1

Beleza... Temos como resultado um valor negativo, certo?! Agora vamos calcular f 2 :

f x = x 2 - 1

Substituindo x = 2 temos

f 2 = 2 2 - 1

Fazendo as continhas, temos

f 2 = 3

O resultado é outro valor positivo, concorda?!

Com o teorema de Bolzano, temos que multiplicar

f 0 ∙ f 2

E se o resultado da multiplicação for um número menor que zero, então temos uma raiz no intervalo!

Fazendo as continhas, temos

f 0 ∙ f 2 = - 1 ∙ 3 = - 3

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzao então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo [ 0 ,   2 ] .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)