Exercícios Resolvidos de Teorema de Bolzano

Enunciado

Mostre utilizando o Teorema de Bolzano que também existe uma raiz para a função f x = x 2 - 4 x + 3 no intervalo - 1 ,   2 .

Passo 1

Opa! Queremos mostrar que a função x = x 2 - 4 x + 3 também possui raiz no intervalo - 1 ,   2 e, para isso, vamos utilizar o Teorema de Bolzano!

Esse teorema diz que se acontecer o caso de f a . f b < 0 , dizemos que existe pelo menos uma raiz com valor igual a ξ ( x = ξ ) entre o intervalo [a,b].

Calma!!! Vamos fazer com calma passo a passo!

Passo 2

Vamos pegar os extremos do intervalo e substituir na função do enunciado pra ver o que vai acontecer!

Assim, calculando f ( - 1 ) e f ( 2 ) temos:

f x = x 2 - 4 x + 3

Substituindo x = - 1 temos

f - 1 = - 1 2 - 4 - 1 + 3

Fazendo as continhas, temos

f - 1 = 8

Beleza... Temos como resultado um valor positivo, certo?! Agora vamos calcular f 2 :

f x = x 2 - 4 x + 3

Substituindo x = 2 temos

f 2 = 2 2 - 4 2 + 3

Fazendo as continhas, temos

f 2 = - 1

Beleza... Temos como resultado um valor negativo, certo?! Vamos continuar então...

Passo 3

Com o teorema de Bolzano, temos que multiplicar

f - 1 ∙ f 2

E se o resultado da multiplicação for um número menor que zero, então temos uma raiz no intervalo!

f - 1 ∙ f 2 = 3 ∙ - 1 = - 3

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo - 1 ,   2 .

Show de bola?!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)