Exercícios Resolvidos de Teorema de Bolzano

Enunciado

Seja f uma função contínua no intervalo fechado [ - 1 ,   2 ] , onde f - 1 = 4 e f 2 = 7 .

Qual das sentenças abaixo é verdadeira, observando o teorema de valor intermediário?

  1. f c = 5 para pelo menos um c entre 4 e 7
  2. f c = 0 para pelo menos um c entre - 1 e 2
  3. f c = 0 para pelo menos um c entre 4 e 7
  4. f c = 5 para pelo menos um c entre - 1 e 2

Passo 1

Vamos láá!! Antes de mais nada, vamos relembrar o que nos diz o teorema do valor intermediário???

O teorema do valor intermediário diz que se temos um função contínua em um intervalo fechado [ a , b ] e além disso temos N   um número qualquer entre f a e f ( b ) , em que f a ≠ f b   então existe um número c em ( a , b ) tal que f c = N .

Ficou confuso?

Sim?

Vamos colocar as informações do nosso enunciado num gráfico para visualizar melhor?!

Passo 2

Pegando as informações do enunciado e colocando num plano cartesiano, temos

Beleza?!

Agora olhando pra descrição do teorema do valor intermediário, temos um número N entre f a e f ( b ) , de tal forma que vai existir um outro número c entre a e b tal que f c = N .

Tá... Quem são os nossos f ( a ) e f b nesse exercício? São f ( - 1 ) e f ( 2 ) , concorda? E, de acordo com o enunciado,

f - 1 = 4

E

f 2 = 7

Ou seja, temos um número N que está entre 4 e 7 :

4 < N < 7

A segunda parte do teorema vai nos garantir que existe um número c em ( a , b ) tal que f c = N , e esse N já sabemos que está entre 4 e 7 !!! Ou seja, já podemos descartar as letras B e D!

Beleza?!

Então já “traduzimos” pro nosso probleminha a primeira parte do teorema! Vamos agora pra segunda parte!

Passo 3

Já sabemos que o nosso número N   está entre 4 e 7 , agora o teorema diz que existe um c em ( a , b ) tal que f c = N . Quem vão ser as letras a e   b nesse exercício?

Se você reparar, a e b são os extremos do intervalo [ - 1 ,   2 ] que são substituídos dentro da função! Ou seja,

a = - 1

E

b = 2

Portanto, f c = 5 para pelo menos um c entre - 1 e 2 !! Visualizando graficamente, teremos

Show de bola?!

Assim, a nossa resposta é a letra C!

Resposta

Letra C