Exercícios Resolvidos de Teorema de Bolzano

Enunciado

Verifique que a equação abaixo possui pelo menos uma solução

x 3 = 1 - x

Passo 1

Falaaaaa Aíí!! Queremos verificar que a equação acima possui pelo menos uma solução! Antes de mais nada observe que as soluções da equação acima são precisamente as raízes da função f x = x 3 - 1 + x . Beleza?!

Utilizaremos o Teorema de Bolzano para verificar e garantir que a função acima possui pelo menos uma raiz, beleza?!

Tá... mas o que esse teorema diz?

Esse teorema diz que se acontecer o caso de f a . f b < 0 , dizemos que existe pelo menos uma raiz com valor igual a ξ ( x = ξ ) entre o intervalo [a,b].

Não se desespere!!! No fundo o que temos que fazer é testar valores na função e verificar se a multiplicação deles dará um valor menor do que zero. Se isso acontecer, o teorema nos garante que tem uma raiz no intervalo entre esses pontos.

Passo 2

Vamos começar chutando alguns valores pra x e verificar se esses valores satisfazem o teorema! Vamos utilizar primeiro o x = 0 e ver o que acontece!

f x = x 3 - 1 + x

Substituindo x = 0   temos

f 0 = 0 3 - 1 + 0

Fazendo as continhas, temos

f 0 = - 1

Beleza... Temos como resultado um valor negativo, certo?!

Agora vamos calcular para x = 1 e ver o que acontece:

f x = x 3 - 1 + x

Substituindo x = 1   temos

f 1 = 1 3 - 1 + 1

Fazendo as continhas, temos

f 1 = 1

O resultado é um valor positivo, concorda?!

Com o teorema de Bolzano, temos que multiplicar

f 0 ∙ f 1

E se o resultado da multiplicação for um número menor que zero, então temos uma raiz no intervalo!

Fazendo as continhas, temos

f 0 ∙ f 1 = - 1 ∙ 1 = - 1

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzao então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo [ 0 ; 1 ] .

E com o teorema de Bolzano conseguimos garantir isso! Show bola?!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)