Exercícios Resolvidos de Teorema de Bolzano

Enunciado

Mostre utilizando o Teorema de Bolzano que existe uma raiz para a função f x = x 2 - 4 x + 3 no intervalo 2 ,   4

Passo 1

Fala Aííí!! Como podemos atacar esse exercício? Se você reparar, queremos mostrar que existe raiz no intervalo 2 ,   4 utilizando o Teorema de Bolzano, certo?!

Tá... e o que diz esse Teorema?

Esse teorema diz que se acontecer o caso de f a . f b < 0 , dizemos que existe pelo menos uma raiz com valor igual a ξ ( x = ξ ) entre o intervalo [a,b].

Calma!!! Vamos fazer com calma passo a passo!

Passo 2

Vamos pegar os extremos do intervalo e substituir na função do enunciado pra ver o que vai acontecer!

Assim, calculando f ( 2 ) e f ( 4 ) temos:

f x = x 2 - 4 x + 3

Substituindo x = 2 temos

f 2 = 2 2 - 4 2 + 3

Fazendo as continhas, temos

f 2 = - 1

Beleza... Temos como resultado um valor negativo, certo?! Agora vamos calcular f 4 :

f x = x 2 - 4 x + 3

Substituindo x = 4 temos

f 4 = 4 2 - 4 4 + 3

Fazendo as continhas, temos

f 4 = 3

O resultado é outro valor positivo, concorda?!

Passo 3

Com o teorema de Bolzano, temos que multiplicar

f 2 ∙ f 4

E se o resultado da multiplicação for um número menor que zero, então temos uma raiz no intervalo!

f 2 ∙ f 4 = - 1 ∙ 3 = - 3

OPA! A multiplicação deu um valor menor do que zero! O teorema de Bolzano então nos garante que existe pelo menos uma raiz entre o intervalo 2 ,   4 .

Show de bola?!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)