Exercícios Resolvidos de Transformação de Lorentz para Espaço e Tempo

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Enunciado

Dois referenciais inerciais S e S ' observam, de maneira independente, a ocorrência de dois eventos E 1 e E 2 em certos pontos do espaço e instantes de tempo. O evento E 1 ocorre com coordenadas ( x 1 = L ; y 1 = 0 ; t 1 = 0 ) em relação ao referencial inercial S . Enquanto o evento E 2 se passa no ponto ( x 2 ' = 2 L ; y 2 ' = L ; t 2 ' = 0 ) para o referencial inercial S ' . Considere que o referencial inercial S ' se move com velocidade v → = + 2 c / 2   x ^ em relação ao referencial inercial S . Considere também que os cronômetros de ambos referenciais inerciais são zerados quando estes dividem a origem de seus eixos coordenados.

a) Determine as coordenadas espaço-temporais ( x 1 ' ; y 1 ' ; t 1 ' ) do evento E 1 para o referencial inercial S ' .

b) Determine as coordenadas espaço-temporais ( x 2 ; y 2 ; t 2 ) do evento E 2 para o referencial S .

c) Pelo ponto de vista de cada referencial inercial, S e S ' , qual a ordem cronológica dos eventos E 1 e E 2 ?

Apresente duas respostas, uma para cada referencial inercial, indicando se os eventos foram ou não simultâneos e, se for o caso, qual evento ocorreu antes do outro.

Passo 1

Eai galerinha, prontos para resolver uma questão de física 4?

Nesse problema vamos brincar com relatividade especial!

O enunciado menciona dois eventos E 1 e E 2 e dois referenciais S e S ' . Os dados do evento E 1   foram dados com relação ao referencial S :

x 1 = L ; y 1 = 0 ; t 1 = 0

Já os dados do evento E 2 foram dados no referencial S ' :

x 2 ' = 2 L ; y 2 ' = L ; t 2 ' = 0

Nós vamos querer converter essas informações de um referencial para o outro. Para isso, vamos achar as transformações de Lorentz que fazem o trabalho para gente!

Como o referencial S ' se move na direção x positiva com relação a S ' , temos que

x ' = γ x - v t

t ' = γ t - v x c 2

y ' = y

Como v = 2 c / 2 , temos que

γ = 1 1 - v c 2 = 1 1 - 1 2 = 1 1 2 = 2

Portanto, usando 2 2 = 1 2 , temos que

x ' = 2 x - c 2 t = 2   x - c t

t ' = 2   t - x 2 c = 2   t - x c

y ' = y

Agora é só substituir! Para o evento E 1 em S temos x 1 = L , y 1 = 0 e t 1 = 0 :

x 1 ' = L 2 - 0 = L 2

y 1 ' = 0

t 1 ' = 2 ⋅ 0 - L c = - L c

Portanto, as coordenadas do evento E 1 no referencial S ' são

x 1 ' = L 2 ,                 y 1 ' = 0 ,               t 1 ' = - L c

Passo 2

No item (b) queremos converter as informações do evento E 2 do referencial S ' para o referencial S . Para isso, usamos a transformação de Lorentz inversa:

x = γ x ' + v t '

t = γ t ' + v x ' c 2

y = y '

Assim,

x = 2   x ' + c t '

t = 2   t ' + x ' c

y = y '

Daí é só substituir x 2 ' = L 2 , y 2 ' = L e t 2 ' = 0 :

x 2 = 2 ⋅ L 2 + 0 = 2 L

y 2 = L

t 2 = 0 + L 2 c = L 2 c

Portanto,

x 2 = 2 L ,             y 2 = L ,             t 2 = L 2 c

Passo 3

No item (c) queremos saber qual evento aconteceu primeiro em cada referencial.

No referencial S , o evento E 1 aconteceu t 1 = 0 e o evento E 2 em t 2 = L 2 / c . Como t 2 > t 1 , o evento E 1 ocorreu primeiro.

Já no referencial S ' , o evento E 1 ocorre em t 1 ' = - L / c enquanto o evento E 2 ocorreu em t 2 ' = 0 . Novamente temos t 2 ' > t 1 ' , de modo que nesse referencial o evento E 1 também aconteceu primeiro.

Nos dois referenciais o evento E 1 acontece primeiro! E assim fechamos o problema.

Resposta

x 1 ' = L 2 ,                 y 1 ' = 0 ,               t 1 ' = - L c

x 2 = 2 L ,             y 2 = L ,             t 2 = L 2 c

Nos dois referenciais o evento E 1 acontece primeiro.

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