Exercícios Resolvidos de Transformação de Lorentz para Espaço e Tempo

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Enunciado

Um veículo se move com velocidade uniforme v em relação ao solo. Sejam A e B as extremidades do veículo e C e D marcações no solo, como na figura.

Definamos o evento B ≡ C como a passagem de B por C e os eventos B ≡ D , A ≡ C e A ≡ D de forma análoga.

  1. Se o intervalo de tempo entre os eventos B ≡ C e A ≡ C (tempo gasto pelo veículo para passar pelo ponto C ) no referencial do veículo é Δ t ' , qual é o intervalo de tempo entre esses eventos no referencial do solo?
  2. Se os eventos B ≡ D e A ≡ C são simultâneos no referencial do veículo, qual é o intervalo de tempo entre esses eventos no referencial do solo?
  3. Qual é a ordem temporal dos eventos B ≡ D e A ≡ C no referencial do solo?

Passo 1

Letra a)

Neste caso, o intervalo de tempo próprio é aquele medido pelo referencial do solo pois, para ele, os dois eventos se deram no mesmo ponto no espaço.

Podemos então usar a fórmula da dilatação do tempo:

Δ t ' = γ Δ t 0

Ou seja, o intervalo de tempo no referencial do solo é dado por:

Δ t 0 = Δ t ' γ

Onde

γ = 1 1 - v 2 c 2

Se desejar, podemos reescrever a equação sem o γ

γ = 1 1 - v 2 c 2 = 1 c 2 c 2 - v 2 c 2 = c c 2 - v 2

Δ t 0 = Δ t ' c ∙ c 2 - v 2

Passo 2

Letra b)

Para achar o intervalo de tempo entre os eventos B ≡ D e A ≡ C no referencial do solo precisamos usar as transformações de Lorentz.

Δ t s o l o = γ Δ t v e í c u l o + v c 2 Δ x '

Como os eventos foram simultâneos no veículo, temos:

Δ t s o l o = γ v c 2 ∙ Δ x '

Sendo Δ x ' é o comprimento entre os pontos D e C para o veículo, que coincide com seu comprimento próprio (entre A e B ). Podemos usar a transformação de Lorentz no comprimento para simplificar essa equação:

Δ x = γ Δ x ' + v Δ t ' = γ Δ x '

Substituindo:

Δ t s o l o = v c 2 Δ x

E o comprimento Δ x é a distância entre os pontos D e C medida no referencial do solo, que vai ser a distância própria.

Δ x = x D - x C

Δ t s o l o = v c 2 x D - x C

Passo 3

Letra c)

No item anterior, vimos que do referencial no solo o tempo entre os eventos B ≡ D e A ≡ C é

Δ t s o l o = v c 2 x D - x C

Como podemos perceber, Δ t s o l o > 0 pois x D > x C .

Porém, para saber qual evento ocorreu primeiro, precisamos estar claros em quem é Δ t s o l o .

Nas transformações de Lorentz anteriores, estávamos sempre usando como variação a diferença do evento B ≡ D para o evento A ≡ C . Por isso:

Δ t s o l o = t B ≡ D - t A ≡ C > 0

t B ≡ D > t A ≡ C

Então o instante em que ocorreu o evento A ≡ C foi anterior ao instante em que ocorreu o evento B ≡ D .

Resposta

Letra a)

Δ t 0 = Δ t ' γ = Δ t ' c ∙ c 2 - v 2

Letra b)

Δ t s o l o = v c 2 x D - x C

Letra c)

O evento A ≡ C ocorreu antes do evento B ≡ D .

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