Exercícios Resolvidos de Transformação de Lorentz para Espaço e Tempo

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Enunciado

Uma espaçonave parte da Terra no instante t = 0 e mantém sua jornada em linha reta com velocidade escalar v em direção a uma estação espacial que se localiza a uma distância D da Terra segundo observadores na Terra. Considere v próxima a velocidade da luz e despreze efeitos de aceleração da espaçonave.

(a) Calcule o tempo necessário para a espaçonave atingir a estação segundo seu comandante.

(b) No instante em que atinge a estação, a espaçonave emite um sinal luminoso na direção da Terra e continua sua viagem em linha reta. Segundo o comandante, qual é o intervalo de tempo entre a emissão e a chegada deste sinal à Terra e quanto a espaçonave se afastou da estação espacial neste mesmo intervalo de tempo?

Passo 1

a)

No referencial da Terra a nave se desloca com velocidade v e percorre uma distância D , assim o tempo medido nesse referencial é

Δ t T = D v

Como é a nave que está se movendo com velocidade v o intervalo de tempo próprio medido pela nave se relaciona com o medido na Terra por

Δ t T = γ Δ t N

Onde γ = 1 / 1 - v 2 / c 2 é o fator de Lorentz. Assim, o intervalo de tempo medido pela nave é dado por

Δ t N = Δ t T γ = D v 1 1 - v 2 / c 2

Δ t N = D v 1 - v 2 / c 2

Passo 2

b)

No referencial da Terra, vemos um sinal luminosos sendo emitido a uma distância D da Terra e vindo com uma velocidade c , assim o intervalo de tempo entre a emissão no referencial da Terra é

Δ t l u z T = D c ,

e a luz está vindo em direção à Terra, então o seu deslocamento é

Δ x l u z T = - D

É negativo por que adotamos que deslocamentos que se afastam da Terra são positivos e que se aproximam da Terra são negativos.

Agora para passar pro referencial da nave temos que fazer uma transformação de Lorentz, já que estamos com espaço e tempo na história! A transformada para o tempo fica

Δ t l u z N = γ Δ t l u z T - v Δ x l u z T c 2

Substituindo os nossos dados

Δ t l u z N = 1 1 - v 2 / c 2   D c - v ( - D ) c 2 = D / c 1 - v 2 / c 2   1 + v c

Eu deixaria assim mas se você é daqueles que gosta de simplificar ao máximo os resultados, é só reescrever

D / c 1 - v 2 / c 2   1 + v c = D c   1 + v / c 2 1 - v 2 / c 2

Lembrando que ( 1 - v 2 / c 2 ) = ( 1 + v / c ) ( 1 - v / c )

D / c 1 - v 2 / c 2   1 + v c = D c   1 + v / c 2 ( 1 + v / c ) ( 1 - v / c )

Δ t l u z N = D c   ( 1 + v / c ) ( 1 - v / c )

Não tá lá essas coisas.... mas pelo menos ficou mais bonito :D

Passo 3

Show! E no referencial da nave, o quanto a nave andou nesse intervalo de tempo? Nada mais vai ser do que a velocidade da nave vezes o intervalo de tempo medido no referencial da nave (se quisessemos saber no referencial da Terra, teríamos que usar Δ t l u z T ). Assim

Δ x n a v e N = v × Δ t l u z N

Δ x n a v e N = D v c   ( 1 + v / c ) ( 1 - v / c )

Resposta

a)

Δ t N = D v 1 - v 2 / c 2

b)

Δ t l u z N = D c   ( 1 + v / c ) ( 1 - v / c )

Δ x n a v e N = D v c   ( 1 + v / c ) ( 1 - v / c )

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