Exercícios Resolvidos de Transformação de Lorentz para Espaço e Tempo

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 181-64.

A figura abaixo mostra uma nave (cujo referencial é S ' ) passando por um observador (cujo referencial é S ) com velocidade v → = 0,95 c   i → .

Um próton é emitido com uma velocidade de 0,98 c ao longo da maior dimensão da nave, a proa para a popa. O comprimento próprio da nave é 760 m .

Determine a distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido e o momento em que chegou à popa da nave a de acordo com um passageiro da nave e b de acordo com um observador estacionário no referencial S .

Suponha que o percurso do próton, em vez de ser da proa para a popa, seja da popa para a proa. Nesse caso, qual é a distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido e o momento em que chegou à popa da nave c de acordo com um passageiro da nave e d de acordo com um observador estacionário no referencial S ?

Passo 1

a Determine a distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido e o momento em que chegou à popa da nave de acordo com um passageiro da nave.

De acordo com o referencial do passageiro, o intervalo de tempo medido (no referencial S ' ) será:

Δ t ' = Δ x ' 0,98 c = 760 0,98 × 3 × 10 8

Δ t ' = 2,59 × 10 - 6   s

Δ t ' = 2,59   μ s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Determine a distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido e o momento em que chegou à popa da nave de acordo com um observador estacionário no referencial S .

Usando a transformação de Lorentz para o tempo, do referencial S ' (em movimento) para S (em repouso), teremos:

Δ t = γ Δ t ' + v Δ x ' c 2

Vamos começar calculando o fator de Lorentz, dado por:

γ = 1 1 - v c 2

Obs.: É importante ressaltar que a velocidade v é a velocidade relativa entre os dois referenciais. Logo, é ela que devemos usar para calcular o fator de Lorentz.

γ = 1 1 - 0,95 c c 2

γ = 3,2

Passo 3

Agora podemos calcular o intervalo de tempo medido no referencial S .

Obs.: Como o próton se move da direita para a esquerda, aqui devemos considerar Δ x ' negativo, logo Δ x ' = - 760 m .

Δ t = 3,2 2,59 × 10 - 6 + 0,95 c × - 760 c 2

Δ t = 5,87 × 10 - 7 s

Δ t = 0,587   μ s

Passo 4

c Qual é a distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido e o momento em que chegou à popa da nave de acordo com um passageiro da nave?

De acordo com o referencial do passageiro, o intervalo de tempo medido (no referencial S ' ) será:

Δ t ' = Δ x ' 0,98 c = 760 0,98 × 3 × 10 8

Δ t ' = 2,59 × 10 - 6   s

Δ t ' = 2,59   μ s

Passo 5

d Qual é a distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido e o momento em que chegou à popa da nave de acordo com um observador estacionário no referencial S ?

Usando a transformação de Lorentz para o tempo, do referencial S ' (em movimento) para S (em repouso), teremos:

Δ t = γ Δ t ' + v Δ x ' c 2

Obs.: Como o próton agora se move da esquerda para a direita, aqui devemos considerar Δ x ' positivo, logo Δ x ' = + 760 m .

Δ t = 3,2 2,59 × 10 - 6 + 0,95 c × 760 c 2

Δ t = 1,60 × 10 - 5 s

Δ t = 16 , 0   μ s

Resposta

a

Δ t ' = 2,59   μ s

b

Δ t = 0,587   μ s

c

Δ t ' = 2,59   μ s

d

Δ t = 16,0   μ s

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