Exercícios Resolvidos de Transformação de Lorentz para Espaço e Tempo

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Enunciado

Um observador na Terra (referencial S ) observa duas naves espaciais A e B movendo-se com a mesma velocidade v → = 3 c / 5 i ^ , constante, separadas por uma distância igual a D = 6 . 10 8 m . Este mesmo observador vê no instante t = 0 s a proa da nave A , com coordenada x = 0 , emitir um pulso de luz e no instante t B = 1 s a popa da nave B emitir um outro pulso de luz, conforme a figura. O referencial S da Terra e o referencial S ’no qual as naves estão em repouso coincidem em t = t ' = 0 .

(a) Calcule no referencial S a coordenada x B do pulso emitido pela nave B no instante t B = 1 s .

(b) Calcule no referencial S ' o instante t ' B em que o pulso é emitido pela nave B .

(c) O pulso de luz emitido por B poderia ser uma resposta ao pulso de luz emitido por A ?

(d) Calcule a distância D ' entre as naves no referencial S ' .

Passo 1

No referencial S a distância da nave B à origem de S no tempo t B = 1 s (medido em S ) será a distância D mais o quanto a nave percorreu nesse intervalo de tempo a velocidade de 3 c / 5 . Assim

x B = D + v t B = 6 . 10 8 + 3 5 3 . 10 8 . 1 = 7,8 . 10 8 m

Passo 2

Sabemos que a emissão do sinal ocorreu em t B = 1 s no referencial S . Para calcular o tempo de emissão do sinal no referencial S ' temos que fazer uma transformação de Lorentz

t ' B = t B - v x B c 2 1 - v 2 c 2

Pelo enunciado v = 3 c / 5 , t B = 1 s e x B já achamos no item anterior. Assim

t ' B = t B - 3 c 5 x B c 2 1 - ( 3 c 5 ) 2   c 2 = t B - 3 5 x B c 1 - 3 5 2 = 1 - 3 5 7,8 . 10 8 3 . 10 8 1 - 3 5 2 = - 0.7 s

Passo 3

O sinal de A foi emitido em t = t ' A = 0 (os tempos coincidem em t = 0 , segundo o enunciado). Para que o sinal de B fosse uma resposta ao sinal de A ele deveria no seu referencial emitir o sinal depois do sinal de A .

Como o sinal de B foi antes do sinal de A (já que t ' B < t ' A ) então não foi uma resposta a A .

Passo 4

Aqui temos uma contração de comprimento. Como o comprimento próprio no referencial S é D = 6 . 10 8 m e a velocidade relativa entre os referenciais é v = 3 c / 5 , temos

D ' = D 1 - v 2 / c 2 = 6 . 10 8 1 - 0,6 2 = 7,5 . 10 8 m

Resposta

  1. 7,8 . 10 8 m
  2. - 0.7 s
  3. Como o sinal de B foi antes do sinal de A (já que t ' B < t ' A ) então não foi uma resposta a A .
  4. 7,5 . 10 8 m

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