Exercícios Resolvidos de Transformação de Lorentz para Espaço e Tempo

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Enunciado

Em relação a um dado referencial inercial, um evento tem coordenadas x = 4   m e c t = 5   m .

Quais coordenadas x ' e c t ' podem descrever o mesmo evento visto de um outro referencial inercial?

Considere que na origem dos tempos ambos referenciais possuem a mesma origem.

  1. x ' = 0 , c t ' = 3 / 5   m
  2. x ' = 0 , c t ' = 3   m
  3. x ' = 3   m , c t ' = 3   m
  4. x ' = 3   m , c t ' = 0
  5. x ' = 8   m , c t ' = 10   m
  6. x ' = 8   m , c t ' = 8   m

Passo 1

Ok, esse exercício não é trivial (como se algum fosse).

Primeiro, temos x e c t e queremos x ' e c t ' . Usamos então as transformações de Lorentz.

x ' = γ x - v t

t ' = γ t - v x c 2

Mas queremos que surja c t e c t ' nas duas equações. Logo, deixa eu arrumar aqui pra você.

x ' = γ x - v c t c

t ' = γ c c t - v x c

Lembrando que v c = β , temos:

x ' = γ x - β c t

c t ' = γ c t - β x

Bem, para sabermos quais x ' e c t ' são válidos, precisamos sumir primeiro com esse gama. Pra nossa sorte:

γ = 1 1 - β 2  

Show! Mas... agora como a gente some com o β ?

Ideia: eleva tudo ao quadrado nesse bagulho pra sumir com essa raíz loka (com “k”) aí.

x ' 2 = x 2 - 2 β x c t + β 2 c t 2 1 - β 2

c t ' 2 = c t 2 - 2 β x c t + β 2 x 2 1 - β 2

Se subtrairmos x ' 2 - c t ' 2 , teremos:

x ' 2 - c t ' 2 = x 2 - c t 2 + β 2 c t 2 - x 2 1 - β 2 = x 2 - c t 2 1 - β 2 1 - β 2

Cortanto no denominador e no numerador, temos:

x ' 2 - c t ' 2 = x 2 - c t 2

Essa quantidade que parece aleatória se chama “intervalo espaço-temporal”, e é uma quantidade que é invariante (nome bonito pra “ é a mesma coisa”) para qualquer referencial!

Na física clássica, o que dava na mesma sempre era a distância entre dois eventos.

Na relatividade, o que dá na mesma sempre é o intervalo espaço temporal entre dois eventos, porque agora o tempo se misturou com o espaço e tiveram um filho, o espaço-tempo.

Passo 2

Continuando de onde paramos no episódio (passo) anterior, temos:

x 2 - c t 2 = 16 - 25 = - 9

(Isso significa que ele é “tipo tempo”. Se ele fosse positivo, ele seria “tipo espaço”. Tem livro que chama de “gênero tempo” e “gênero espaço”, mas isso é sem graça.)

Isso signifca que pro evento poder ser descrito por x ' e c t ' , é necessário que

x ' 2 - c t ' 2 = - 9

Agora é só ir testando todas as letras.

Letra a : 0 2 - 9 25 = - 9 / 25 (não pode)

Letra b : 0 2 - 9 = - 9 (pode) (é a resposta)

Letra c : 9 - 9 = 0 (não pode)

Letra d : 9 - 0 2 = 9 (não pode)

Letra e : 64 - 100 = - 36 (não pode)

Letra f : 64 - 64 = 0 (não pode)

Resposta

Letra b

x ' = 0 , c t ' = 3   m

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