Exercícios Resolvidos de Aceleração da gravidade no interior de cascas e esferas

Ver Teoria

Enunciado

Uma camada esférica tem raio interno R 1 , raio externo R 2 e uma massa M , uniformemente distribuída pela camada. A força gravitacional exercida sobre a camada por uma massa puntiforme m colocada a uma distância d do centro, com R 1 < d < R 2 , é:

a) G M m / ( R 2 - d 2 )  

b) G M m ( d 3 - R 1 3 ) / [ d 2 R 2 3 - R 1 3 ]

c) G M m / d 2

d) zero

e) G M m / ( R 1 2 - d 2 )

Passo 1

Pra fazer essa questão, a gente precisa considerar que toda a massa da casca está concentrada no centro dela. Mas a única massa da casca que vai causar atração gravitacional na massa puntiforme é aquela que estiver entre R 1 e d ! Vamos calcular essa massa, que eu vou chamar de M ’ .

M ' = ρ V ' = ρ 4 π d 3 3 - 4 π R 1 3 3

M ' = 4 π ρ d 3 - R 1 3 3

Passo 2

Beleza! Mas tá vendo que nas respostas não tem nada parecido com M ’ ? Então a gente vai ter que escrever M ’ com relação a M .

Primeiro vamos calcular M .

M = ρ V = ρ 4 π R 2 3 3 - 4 π R 1 3 3

M = 4 π ρ R 2 3 - R 1 3 3

E vamos dividir os dois:

M ' M = 4 π ρ d 3 - R 1 3 3 4 π ρ R 2 3 - R 1 3 3

M ' M = d 3 - R 1 3 R 2 3 - R 1 3

M ' = M ( d 3 - R 1 3 ) ( R 2 3 - R 1 3 )

Passo 3

Já melhorou nossa vida! Agora vamos calcular a força:

F = G M ' m d 2

E trocando M’:

F = G m M d 2 ( d 3 - R 1 3 ) ( R 2 3 - R 1 3 )

Maravilha! Letra B!

Resposta

Letra B.

Exercícios de Livros Relacionados

Atração de uma montanha. Uma grande montanha praticamente não a afeta a direção “vertical” indicada por uma linha de prumo. Suponha que a montanha possa ser modelada por uma esfera de R = 2,00 k m e m
Na figura, dois blocos de mesma massa m = 2,00k g estão pendurados em cordas de comprimentos diferentes nas extremidades de uma balança situada na superfície da Terra. As cordas têm massa desprezível,
Uma esfera maciça homogênea de raio R produz uma aceleração gravitacional a g na superfície. A que distância do centro da esfera está o ponto (a) do lado de dentro e (b) do lado de fora da esfera no q
Duas esferas maciças e homogêneas muito afastadas, E 1 e E 2 , têm massas iguais mas raios diferentes, R 1 e R 2 . Se a intensidade do campo gravitacional na superfície de E 1 é g 1 , qual é a intensi
Uma casca esférica fina e homogênea tem 2,0 m de raio e 300 k g de massa. Qual é o campo gravitacional às seguintes distâncias do centro da camada: (a) 0,50 m , (b) 1,9 m , (c) 2,5 m ?