Exercícios Resolvidos de Aceleração da gravidade no interior de cascas e esferas

Ver Teoria

Enunciado

A figura ao lado ilustra uma sistema composto por 2 massas. A localizada na origem é uma massa pontual de massa M, a outra é uma casca esférica espessa centrada na origem, onde a é seu raio interno e b o raio externo. A casca possui densidade de massa uniforme ρ . Uma partícula de prova de massa m é colocada em 2 regiões distintas no espaço, r   <   a e r   >   b . Assinale abaixo a alternativa que contém o módulo da força gravitacional resultante correta sobre a partícula de prova nas regiões r   <   a e r   >   b respectivamente.

a) G M m r 2 e G m r 2 M + 4 π 3 ρ ( b 3 - a 3 )

b) G M m r 2 e G m r 2 [ M + 4 π 3 ρ b 3 ]

c) G M m r 2 e G m ρ b 3 r 2

d) G M m r 2 e G m ρ r 2

e) 0 e G m ρ b 3 r 2

f) 0 e G m r 2 M + 4 π 3 ρ ( b 3 - a 3 )

Passo 1

Primeiro vamos pensar no interior da casca esférica.

Nessa região, a massa de prova só vai ser atraída pela massa pontual. Então:

F M a s s a   P o n t u a l = G M m r 2

Lembrando que dentro da casca esférica a força gravitacional devida à casca esférica é zero, por causa da simetria da esfera (as forças atrativas se anulam).

E no exterior da esfera?

Aí vamos ter força gravitacional devida à massa pontual e à casca. A força devido à massa pontual vai ser igual à que já calculamos:

F M a s s a   P o n t u a l = G M m r 2

A força devida à casca vai ser:

F C a s c a = G m M c a s c a r 2

E a massa da casca vai ser:

M c a s c a = 4 π 3 ρ ( b 3 - a 3 )

Substituindo:

F C a s c a = G m 4 π ρ ( b 3 - a 3 ) 3 r 2

A força total então vai ser:

F = F M a s s a   P o n t u a l + F C a s c a

F = G M m r 2 + G m 4 π ρ ( b 3 - a 3 ) 3 r 2

F = G m r 2 M + 4 π ρ b 3 - a 3 3

Ou seja, as forças serão: G M m r 2 e G m r 2 M + 4 π ρ b 3 - a 3 3

Resposta

Letra A.

Exercícios de Livros Relacionados

Atração de uma montanha. Uma grande montanha praticamente não a afeta a direção “vertical” indicada por uma linha de prumo. Suponha que a montanha possa ser modelada por uma esfera de R = 2,00 k m e m
Na figura, dois blocos de mesma massa m = 2,00k g estão pendurados em cordas de comprimentos diferentes nas extremidades de uma balança situada na superfície da Terra. As cordas têm massa desprezível,
Uma esfera maciça homogênea de raio R produz uma aceleração gravitacional a g na superfície. A que distância do centro da esfera está o ponto (a) do lado de dentro e (b) do lado de fora da esfera no q
Duas esferas maciças e homogêneas muito afastadas, E 1 e E 2 , têm massas iguais mas raios diferentes, R 1 e R 2 . Se a intensidade do campo gravitacional na superfície de E 1 é g 1 , qual é a intensi
Uma casca esférica fina e homogênea tem 2,0 m de raio e 300 k g de massa. Qual é o campo gravitacional às seguintes distâncias do centro da camada: (a) 0,50 m , (b) 1,9 m , (c) 2,5 m ?