Exercícios Resolvidos de Aceleração da gravidade no interior de cascas e esferas

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Enunciado

Uma partícula de massa m encontra-se a uma distância r do centro de uma distribuição esferossimétrica de massa. Essa distribuição consiste de uma massa M uniforme sobre uma casca esférica de raio 2 R , concêntrica com outra massa M uniforme em uma esfera maciça de raio R . Seja F o módulo da força gravitacional sobre m . Que gráfico representa a razão ɼ = F / ( G m M / R 2 ) , como função de γ =   r / R ?

Passo 1

Primeiro vamos desenhar para entender o que está acontecendo.

Existem três possibilidades:

Agora com o auxilio do desenho vai ficar mais tranquilo analisarmos a questão. A força é dada pela fórmula:

F = G m . M i n t r 2

No primeiro caso a massa dentro da esfera de raio r é a massa das duas esferas M + M , assim:

F r > 2 R = G m . M + M r 2 = 2 G m M r 2

No segundo caso a massa dentro da esfera de raio r é apenas a massa da esfera de raio R , assim a massa interna a esfera r é apenas M .

F R < r < 2 R = g m M r 2

Esse é o caso problemático, pois a massa interna a esfera de raio r terá de ser calculada pela densidade volumétrica.

Se tivéssemos um fio de volume V e massa M e quiséssemos saber a densidade faríamos μ = M / V , certo? Assim conseguiríamos descobrir a massa correspondente para qualquer volume v daquele material, bastando fazer:

M v = μ . v = M V . v

Faremos o mesmos para esse caso, lembrando que o volume de uma esfera é 4 3 π r 3 .

Assim a densidade volumétrica da esfera de raio R será de

μ = 3 M 4 π R 3

Como queremos saber a massa dentro da esfera de raio r , iremos multiplicar essa densidade pelo volume da esfera de raio r . Assim,

M i n t = μ . V r = 3 M 4 π R 3 . 4 3 π r 3

M i n t = M r 3 R 3

Agora que encontramos a massa interna a esfera de raio r , podemos calcular a força:

F r < R = G m M i n t r 2 = G m r 2 . M r 3 R 3

F r < R = G m M r R 3

Passo 2

Ainda não terminamos a questão porque o professor fez uma graça em colocar o eixo y do gráfico sendo ɼ , onde ɼ = F / ( G m M / R 2 ) .

Assim, temos que calcular ɼ e deixa-lo em função de γ que é o eixo x do gráfico e vale r / R .

No primeiro caso temos:

F r > 2 R = 2 G m M r 2

ɼ r > 2 R = 2 G m M r 2 / ( G m M / R 2 )

ɼ r > 2 R = 2 R 2 r 2 = 2 γ 2

No segundo caso temos:

ɼ R < r < 2 R = G m M r 2 / ( G m M / R 2 )

ɼ R < r < 2 R = R 2 r 2 = 1 γ 2

No terceiro caso temos:

ɼ r < R = G m M r R 3 / ( G m M / R 2 )

ɼ r < R = r R = γ

Passo 3

Agora temos que montar o gráfico, e para isso temos que analisar a função ɼ γ que terminamos de encontrar para cada trecho.

O primeiro trecho é o que tem menor r , ou seja, o terceiro caso onde o raio está entre 0 e R .

A função nesse trecho é ɼ r < R = γ

Essa é a função de uma reta, é igual a y = x . Então nosso gráfico será uma reta entre

0 ≤ γ ≤ 1

Pois o que varia é o r assim, temos que

0 R = 0 ≤ γ ≤ 1 = R R

Já eliminamos a opção d . Já que seu primeiro trecho não é uma reta.

Vamos continuar, o segundo trecho será descrito pela função do segundo caso, pois o r está entre R   e   2 R . Assim, o γ está entre:

R R = 1 ≤ γ ≤ 2 = 2 R R

Nesse trecho a função é:

ɼ R < r < 2 R = R 2 r 2 = 1 γ 2

É uma hipérbole decrescente, que sai do 1   γ = 1 e vai até 0,25   γ = 2 .

Assim, eliminamos os gráficos b   e   c , pois eles não têm valor 0,25   quando   γ = 2 .

Por último, vamos analisar o último trecho, onde γ > 2 .

A função desse trecho é:

ɼ r > 2 R = 2 R 2 r 2 = 2 γ 2

Que é uma hipérbole decrescente, que sai do 0,5   γ = 2 e vai até 0,125   γ = 4 .

Assim, o único gráfico correto é o e .

Resposta

Alternativa e

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