Exercícios Resolvidos de Aplicação de Funções Vetoriais, Arcos de Curvas

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Enunciado

Uma curva tem equação y 2 = x ³ . Encontre o comprimento da curva do ponto ( 1 , - 1 ) ao ponto ( 1,1 ) .

Passo 1

Belezinha, gente? Confiantes para mais um exercício de função vetorial?

Quando o enunciado pede para a gente calcular o comprimento da curva entre dois pontos, ele está pedindo para a gente calcular o comprimento de arco L de uma função vetorial.

Mas onde está a função vetorial? O enunciado só nos deu a equação abaixo...

y 2 = x ³

Essa não é uma função vetorial! Como dependemos de uma função vetorial para calcular o comprimento de arco L , precisamos transformar a equação acima em uma função vetorial!

A gente faz isso, criando uma nova variável t e reescrevendo x e y em função dessa nova variável! Por exemplo, podemos supor que y é igual a t .

y = t

Podemos agora substituir essa equação de y na fórmula de x que o enunciado nos deu.

t 2 = x 3

Elevando os dois lados a 1 3 , achamos:

t 2 1 3 = x 3 1 3

Quando temos um número sendo elevado várias vezes, podemos multiplicar todos os seus expoentes.

t 2 ⋅ 1 3 = x 3 ⋅ 1 3

t 2 3 = x 1

x = t 2 3

Por último, para finalizar a criação de uma função vetorial que vamos chamar de r t , vamos considerar que o x é o primeiro componente da função vetorial r t e que o y é o segundo componente da função vetorial r t . Logo:

r t = x , y = t 2 3 , t

Criamos a função vetorial. Com ela, conseguimos calcular o comprimento de arco L através de uma fórmula.

Essa fórmula será mostrada no próximo passo.

Passo 2

A fórmula do comprimento de arco L é:

L = ∫ t 0 t f x ' 2 + y ' 2   d t

Nessa fórmula, x ' é a derivada de x e y ' é a derivada de y .

E o que são esse t f em cima da integral e esse t 0 embaixo da integral?

Eles são os limites de integração da integral. Relaxa, porque só vamos nos preocupar com eles mais tarde! Por enquanto, vamos calcular as derivadas x ' e y ' . Vamos começar calculando x ' !

x ' = t 2 3 '

Como o t 2 3 é uma potência de t , derivamos ele usando a regra do peteleco. Nessa regra, damos um peteleco no expoente de t 2 3 (que no caso vale 2 3 ). Isso faz o expoente cair na frente de t . Esse expoente deixa pra trás um expoente menor que vale ele mesmo menos 1 (no caso, esse expoente menor vale 2 3 - 1 ).

x ' = t 2 3 ' = 2 3 ⋅ t 2 3 - 1 = 2 3 ⋅ t 2 3 - 3 3 = 2 3 ⋅ t - 1 3

Já achamos quanto vale a derivada de x . Vamos partir para o cálculo da derivada de y ! Para isso, temos que lembrar que t é igual a t 1 .

y ' = t ' = t 1 '

t 1 também é uma potência de t . Por isso, usamos a regra do peteleco nele também! Nesse caso, o expoente que cai vale 1 e o expoente menor que deixado pra trás vale 1 - 1 = 0 .

y ' = t ' = 1 ⋅ t 0 = 1 ⋅ 1 = 1

Substituindo essas derivadas na fórmula de L , descobrimos a integral que precisamos calcular para achar L .

L = ∫ t 0 t f x ' 2 + y ' 2   d t

L = ∫ t 0 t f 2 3 ⋅ t - 1 3 2 + 1 2   d t

L = ∫ t 0 t f 2 3 ⋅ t - 1 3 2 + 1   d t

Faltam duas coisas para a gente poder integral essa função. A primeira delas é achar o valor de t 0 e t f . A segunda delas é simplificar a integral.

Primeiro, vamos descobrir os valores de t 0 e t f no próximo passo!

Passo 3

O enunciado pede para a gente calcular o comprimento L de uma curva que vai do ponto 1 , - 1 até o ponto 1,1 . Para consegui calcular t 0 e t f , a gente tem que entender o que significam esses dois número dos pontos.

O primeiro número é o valor de x do ponto e o segundo é o valor de y do ponto.

P o n t o   1 , - 1       ⟹       x = 1   e   y = - 1 P o n t o   1,1       ⟹       x = 1   e   y = 1

Agora, vamos chamar o ponto 1 , - 1 de ponto 0 e o ponto 1,1 de ponto f .

No ponto 0 , t vale t 0 . No ponto f , t vale t f .

P o n t o   0       ⟹       t = t 0 P o n t o   f       ⟹       t = t f

Agora, vamos calcular quanto vale o t no ponto 0 usando a fórmula de y abaixo. Antes, temos que lembrar que, no ponto 0 , t = t 0 e que y = - 1 .

y = t

- 1 = t 0

t 0 = - 1

Falta ainda calcular quanto vale o t no ponto f usando a fórmula de y abaixo. Antes, temos que lembrar que, no ponto f , t = t f e que y = 1 .

y = t

1 = t f

t f = 1

Substituindo t 0 e t f na integral, ela vira:

L = ∫ - 1 1 2 3 ⋅ t - 1 3 2 + 1   d t

No próximo passo nós vamos simplificar essa integral.

Passo 4

Para simplificar a integral, vamos mexer dentro da raiz da raiz quadrada. Para isso, temos que lembrar que, quando temos dois números sendo elevados juntos, podemos fazer eles se elevarem separadamente.

L = ∫ - 1 1 2 3 2 ⋅ t - 1 3 2 + 1   d t

L = ∫ - 1 1 4 9 ⋅ t - 1 3 2 + 1   d t

Além disso, quando um número está sendo elevado por mais de um expoente, podemos multiplicar os expoentes.

L = ∫ - 1 1 4 9 ⋅ t - 1 3 ⋅ 2 + 1   d t

L = ∫ - 1 1 4 9 ⋅ t - 2 3 + 1   d t

Quando o expoente de um número é negativo, podemos inverter o número!

L = ∫ - 1 1 4 9 ⋅ 1 t 2 3 + 1   d t

Multiplicando os numeradores e denominadores da fração, achamos:

L = ∫ - 1 1 4 9 t 2 3 + 1   d t

Para somar a fração que tem dentro da raiz com o número 1 que tem dentro da raiz, temos que colocar os dois no mesmo denominador. Fazemos isso, multiplicando e dividindo o número 1 por 9 t 2 3 .

L = ∫ - 1 1 4 9 t 2 3 + 9 t 2 3 9 t 2 3   d t

L = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3 9 t 2 3   d t

Podemos transformar a raiz de uma fração na raiz da parte de cima dividida pela raiz da parte debaixo.

L = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3   9 t 2 3   d t

Podemos calcular a raiz de dois termos que estão juntos, calculando a raiz de cada termo separadamente.

L = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3   9 ⋅ t 2 3   d t

L = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 2 3   d t

Elevar um número a 2 3 é a mesma coisa que elevar o número a 1 3 e depois elevar esse mesmo número a 2 .

L = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3 2   d t

Elevar um número ao quadrado e depois tirar a raiz dele, é a mesma coisa que calcular o módulo desse número!

O módulo é representado por duas barrinhas na lateral .

L = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3   d t

Quando termo que está dentro do módulo é negativo, o módulo multiplica esse termo por - 1 .

Se o termo que estiver dentro do módulo for maior ou igual a zero, o módulo não faz esse termo mudar!

t 1 / 3 é negativo, quando o t varia de - 1 a 0 . No entanto, t 1 / 3 é positivo, quando o t varia de 0 a 1 .

Q u a n d o   t 1 / 3 < 0       ⟹       t 1 3 = - 1 ⋅ t 1 / 3

Q u a n d o   t 1 / 3 > 0       ⟹       t 1 3 = t 1 / 3

Como o módulo se comporta diferente dependendo do valor de t , vamos precisar separar a integral em duas. A integral de - 1 a 0 fará a integração em valores negativos de t e a integral de 0 a 1 fará a integração em valores positivos de t .

L = ∫ - 1 0 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3   d t + ∫ 0 1 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3   d t

O módulo vai multiplicar t 1 / 3 por - 1 , quando a integral for de - 1 a 0 e vai manter t 1 / 3 igual, quando a integral for de 0 a 1 .

L = ∫ - 1 0 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ - 1 ⋅ t 1 3   d t + ∫ 0 1 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3   d t

Podemos colocar esse sinal de menos do denominador para fora da integral.

L = - ∫ - 1 0 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3   d t + ∫ 0 1 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3   d t

Enfim, chegamos em uma integral que podemos calcular!

Tá achando muito difícil calcular essa integral?

Então vamos descobrir como se faz essa integral nos próximos passos!

Passo 5

Essa integral provavelmente te assusta por causa do 4 + 9 t 2 3 dentro da raiz quadrada, estou certo?

Se o que atrapalha a gente é esse 4 + 9 t 2 3 , porque não tentamos nos livrar dele?

Podemos fazer isso, criando uma nova variável u que deve ficar no lugar de 4 + 9 t 2 3 .

u = 4 + 9 t 2 3

Chamamos essa técnica de criar uma nova variável para substituir um termo complexo da integral de substituição simples! Ela é uma das técnicas de integração mais importantes!

Sempre que a gente ver uma integral difícil, a gente pode tentar simplificar com essa técnica!

Se a gente substituir 4 + 9 t 2 3 por esse u , a integral vai ficar:

L = - ∫ - 1 0 u   3 ⋅ t 1 3   d t + ∫ 0 1 u   3 ⋅ t 1 3   d t

L = - ∫ - 1 0 u   3   d t t 1 3 + ∫ 0 1 u   3 d t t 1 3

A cara dela já está melhorzinha, né? Mas ainda não resolvemos nosso problema! Agora temos duas variáveis na integral! Para a gente conseguir integrar, a integral só pode ter uma variável!

No próximo passo a gente vai descobrir como substituir t e d t por u e d u .

Passo 6

Para nos livrar do t da integral, temos que substituir o t pelo u e o d t pelo d t . Mas quanto vale o d u ?

Para descobrir quanto vale d u , a gente precisa derivar o u !

d u d t = d d t 4 + 9 t 2 3

O primeiro passo para derivar esse cara é lembrar que podemos separar a derivada grande em derivadas menores e que podemos tirar as constante de dentro da derivada.

d u d t = d d t 4 + 9 ⋅ d d t t 2 3

Em segundo lugar, temos que nos lembrar que a derivada de uma constante vale zero. Logo, a derivada de 4 vale zero!

d u d t = d d t 4 + 9 ⋅ d d t t 2 3 = 0 + 9 ⋅ d d t t 2 3

Em último lugar, derivamos t 2 3 usando a regra do peteleco! Nessa regra, o expoente 2 3 cai na frente de t e deixa pra trás um expoente menor que vale 2 3 - 1 .

Para fazer a conta de 2 3 - 1 , temos que colocar 1 no mesmo denominador que 2 3 . Fazemos isso multiplicando e dividindo o número 1 por 3 .

d u d t = 9 ⋅ d d t t 2 3

= 9 ⋅ 2 3 ⋅ t 2 3 - 1

= 9 ⋅ 2 3 ⋅ t 2 3 - 3 3

= 9 ⋅ 2 3 ⋅ t - 1 3

Multiplicando 9 por 2 e dividindo o resultado por 3 , achamos 6 !

d u d t = 6 ⋅ t - 1 3

Como o expoente de t é negativo, podemos inverter t para tornar o expoente positivo.

d u d t = 6 ⋅ 1 t 1 3

Se a gente passar o d t para o lado direito e o número 6 para o lado esquerdo da equação, ela fica:

d u 6 = d t t 1 3

Isso significa que a gente pode substituir o d t t 1 3 da integral pelo d u 6 .

L = - ∫ - 1 0 u   3   d t t 1 3 + ∫ 0 1 u   3 d t t 1 3

L = - ∫ - 1 0 u   3   d u 6 + ∫ 0 1 u   3 d t 6

Podemos multiplicar os denominadores 3 e 6 . Isso faz aparecer o 18 no denominador

L = - ∫ - 1 0 u   d u 18 + ∫ 0 1 u d t 18

Dividir por 18 é a mesma coisa que multiplicar por 1 18 . Por isso, podemos transformar o 18 que está dividindo o d u por 1 18 .

L = - ∫ - 1 0 1 18 u   d u + ∫ 0 1 1 18 u   d u

Agora vamos integrar!

Ainda falta um último passo para ela ficar pronta para ser integrada!

Esses limites de integração 1 , 0 e - 1 estavam corretos, quando a integral era de t ! Agora que a integral é de u , eles precisam ser atualizados.

Passo 7

Agora nós vamos aprender a atualizar os limites de integração!

Nós ainda não vamos descobrir o que precisamos fazer com esses limites de integração, mas precisamos muda-los, já que eles só serviam pra integrais de t !

Para atualizar esses limites, temos que usar a equação de u !

u = 4 + 9 t 2 3

Para a gente achar o novo limite de integração que valia 1 , temos que substituir o t por pelo limite de integração antigo 1 .

u = 4 + 9 ⋅ 1 2 = 4 + 9 = 13

Ou seja, o novo limite de integração que valia 1 passa a valer 13 .

Para a gente achar o novo limite de integração que valia - 1 , temos que substituir o t por pelo limite de integração antigo - 1 .

u = 4 + 9 ⋅ - 1 2 = 4 + 9 = 13

Ou seja, o novo limite de integração que valia - 1 passa a valer 13 .

Para a gente achar o novo limite de integração que valia 0 , temos que substituir o t por pelo limite de integração antigo 0 .

u = 4 + 9 ⋅ 0 2 = 4 + 0 = 4

Ou seja, o novo limite de integração que valia 0 passa a valer 4 .

L = - ∫ 13 4 1 18 u   d u + ∫ 4 1 3 1 18 u   d u

Podemos inverter os limites de integração da primeira integral, se a gente tirar o sinal de menos da frente da integral.

L = ∫ 4 13 1 18 u   d u + ∫ 4 13 1 18 u   d u

L = 2 ∫ 4 13 1 18 u   d u

Agora sim estamos prontos para integrar!

Passo 8

Primeiro, temos que lembrar que a constante não interfere na integral! Logo, ela pode ser tirada da integral!

2 ⋅ ∫ 4 13 1 18 u d u = 2 18 ∫ 4 13 u d u

Depois, precisamos lembrar que calcular a raiz quadrada de um número é a mesma coisa que elevar o número a 1 2 . Ou seja, x é igual a x 1 / 2 .

2 18 ∫ 4 13 u d u = 2 18 ∫ 4 13 u 1 / 2 d u

Agora está claro que precisamos integrar uma potência de u .

Pra nossa sorte, existe uma regrinha bem simples que vai ajudar a encontrar rapidinho a integral de qualquer potência de u . A regrinha é: soma 1 no expoente n e divide por esse resultado. Ou seja, a regrinha geral, ficaria assim:

∫ u n   d x = u n + 1 n + 1

Para usar essa regra, nós temos que lembrar que o expoente n de u 1 / 2 vale 1 2 .

Logo, n + 1 vale:

n + 1 = 1 2 + 1 = 1 2 + 1 ⋅ 2 2 = 3 2

Aplicando essa regra, achamos:

2 18 ∫ 4 13 u 1 2 d u = 2 18 u 3 2 3 2 4 13

Dividir por 3 2 é a mesma coisa que multiplicar por 2 3 . Logo:

2 18 u 3 2 3 2 4 13 = 2 18 2 3 u 3 2 4 13

Só falta descobrir como usar os limites de integração para resolver tudo! Isso será feito no outro passo!

Passo 9

Finalmente vamos usar os limites de integração!

Fazemos isso, substituindo o u pelos dois limites! Em outras palavras, nós vamos trocar os u ' s por um limite de cada vez. Primeiro, nós vamos trocar o u pelo limite de cima (pelo 13 ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo 4 ). A regra de troca do u é mostrada abaixo.

l i m i t e   d e   c i m a - l i m i t e   d e b a i x o

Usando essa regra, a expressão vira:

2 18 2 3 u 3 2 4 13 = 2 18 2 3 13 3 2 - 2 3 4 3 2

Para descobrir quanto vale 13 3 2 e 4 3 2 , precisamos o que significa um expoente que é uma fração. A parte debaixo de uma fração indica o índice de uma raiz. Por exemplo, se a parte debaixo da fração vale 2 , a raiz é uma raiz quadrada. A parte de cima da fração mostra por quanto estamos elevando a raiz! Se essa parte de cima vale 3 , estamos elevando a raiz por 3 .

13 3 2 = 13 3 = 13 ⋅ 13 ⋅ 13 = 13 13

4 3 2 = 4 3 = 2 3 = 8

Substituindo esses valores na equação da integral, achamos:

2 18 2 3 13 3 2 - 2 3 4 3 2 = 2 18 2 3 ⋅ 13 13 - 2 3 ⋅ 8

Podemos ver que o 2 3 aparece junto do 13 13 e do 8 . Quando isso acontece, podemos tirar o número 2 3 de dentro do parênteses.

2 18 2 3 ⋅ 13 13 - 2 3 ⋅ 8 = 2 18 ⋅ 2 3 ⋅ 13 13 - 8

O número 2 aparece em cima da fração pode cortar com o núemro 18 que aparece embaixo da fração! Dessa forma, o 18 vai virar 9 .

1 9 ⋅ 2 3 ⋅ 13 13 - 8

Multiplicando o 9 pelo 3 , achamos o número 27   no denominador. Logo:

2 27 ⋅ 13 13 - 8

Isso quer dizer que o comprimento L da curva vale:

L = 2 27 ⋅ 13 13 - 8

Resposta

L = 2 27 13 13 - 8