Exercícios Resolvidos de Aplicação de Funções Vetoriais, Arcos de Curvas

Ver Teoria

Enunciado

Seja a curva parametrizada:

σ t = ( t cos ⁡ t , t sen ⁡ t ,   t )

t ∈ R

Faça um esboço da trajetória percorrida pela partícula.

Passo 1

Similar a questão anterior vou fazer um passo zerinho, por que aqui a gente também consegue esboçar sem fazer contas.

Observa que temos

x t = t c o s t

y t = t s e n t

z t = t

Bom, com isso a gente sabe que no plano x y nós vamos ter a circunferência pela relação entre o seno e cosseno, certo? No entanto se você for observar eu tenho t multiplicando o seno e cosseno. Isso faz com que quando t = 0   ( o u   s e j a ,   z = 0 ,   p o i s   z t = t ) nós não teremos a circunferência. Conforme o t vai crescendo, mais aumenta essa circunferência no plano x y .

Vamos ter então isso

Mas não se preocupa! Se você não pegou essa explicação, segue a explicação normal haha Isso daqui seria só pra te mostrar que a gente consegue ter uma noção analisando os termos, sem necessariamente fazer várias contas.

Passo 2

Identificar curva:

Pelas equações paramétricas da curva, podemos ver que

x 2 t + y 2 ( t ) = t cos ⁡ t 2 + t sen ⁡ t 2

⇒ x 2 t + y 2 ( t ) = t 2

z 2 ( t ) = t 2

Logo:

  x 2 t + y 2 ( t ) = z 2 ( t )

Então essa é uma helicoidal cônica.

Passo 3

Avaliar z ' ( t ) :

z ' t = 1 > 0

Logo, a curva “sobe” com o aumento do parâmetro t

Passo 4

Verificar intervalo e ponto inicial:

t ∈ R

Como t é real, ele varia de - ∞ a + ∞ . Quando t = 0 , a curva passa pelo ponto:

σ 0 = 0,0 , 0

Passo 5

Esboçar curva:

Resposta