Exercícios Resolvidos de Aplicação de Funções Vetoriais, Arcos de Curvas

Ver Teoria

Enunciado

Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo da curva de equação dada durante o intervalo de tempo especificado:

σ t = t ,   3 t 2 ,   6 t 3 ,     0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Como vai, galera! Prontos para mais um exercício de funções vetoriais?

O enunciado quer que a gente calcule o comprimento do caminho percorrido por uma partícula. Isso é a mesma coisa que pedir para calcular o comprimento de arco L da função vetorial σ t abaixo.

σ t = t ,   3 t 2 ,   6 t 3

Existe uma fórmula que podemos usar para calcular esse comprimento de arco L . No entanto, antes de mostrar essa fórmula, vamos dar um nome para cada componente da função vetorial! Isso vai facilitar a aplicação da fórmula.

Vamos chamar a primeira componente da função vetorial σ t de x t .

x t = t

A segunda componente de σ t pode ser chamada de y t .

y t = 3 t 2

Por fim, a terceira componente de σ t pode ser chamada de z t .

z t = 6 t 3

Agora que demos nomes a todas as componentes, fica tranquilo de escrever a fórmula do comprimento de arco L .

L = ∫ t 0 t f x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2   d t

Nessa fórmula, x ' t é a derivada de x t , y ' t é a derivada de y t e z ' t é a derivada de z t . E o que são esse t f em cima da integral e esse t 0 embaixo da integral?

Eles são os limites de integração da integral. Relaxa, porque só vamos nos preocupar com eles mais tarde! Por enquanto, vamos calcular as derivadas x ' t , y ' t e z ' t .

Passo 2

Nesse passo, vamos calcular as derivadas x ' t , y ' t e z ' t .

Vamos começar por x ' t .

x ' t = t '

A derivada de uma variável que está sozinha vale 1 . Logo:

x ' t = t ' = 1

Agora podemos partir para o cálculo de y ' t .

y ' t = 3 t 2 '

Para calcular essa derivada, precisamos lembrar que a constante não interfere na derivada e, por isso, pode ser tirada de dentro da derivada!

y ' t = 3 t 2 '

Restou a gente derivar o t 2 . Como o t 2 é uma potência de t , podemos usar a regra do peteleco. Nessa regra, damos um peteleco no expoente de t 2 (que no caso vale 2 ). Isso faz o expoente cair na frente de t . Esse expoente deixa pra trás um expoente menor que vale ele mesmo menos 1 (no caso, esse expoente menor vale 2 - 1 = 1 ).

y ' t = 3 t 2 ' = 3 ⋅ 2 ⋅ t 1 = 6 t

Por fim, temos que calcular z ' t .

z ' t = 6 t 3 '

Lembrando que a constante não interfere na derivada, podemos tirar 6 de dentro da derivada!

z ' t = 6 t 3 ' = 6 t 3 '

Restou a gente derivar o t 3 . Como o t 3 é uma potência de t , podemos usar a regra do peteleco. Nessa regra, damos um peteleco no expoente de t 3 (que no caso vale 3 ). Isso faz o expoente cair na frente de t . Esse expoente deixa pra trás um expoente menor que vale ele mesmo menos 1 (no caso, esse expoente menor vale 3 - 1 = 2 ).

z ' t = 6 t 3 ' = 6 ⋅ 3 ⋅ t 2 = 18 t 2

Pronto, temos todas as derivadas.

No próximo passo vamos substituir todas as derivadas na fórmula de L !

Passo 3

Sem enrolação! Vamos substituir logo as derivadas x ' t , y ' t e z ' t na fórmula de L .

L = ∫ t 0 t f x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2   d t

L = ∫ t 0 t f 1 2 + 6 t 2 + 18 t 2 2   d t

Sempre que temos dois números sendo elevados ao mesmo tempo, podemos transformar essa conta em dois números sendo elevados separadamente.

L = ∫ t 0 t f 1 + 6 2 ⋅ t 2 + 18 t 2 2   d t

L = ∫ t 0 t f 1 + 36 ⋅ t 2 + 18 t 2 2   d t

Finalmente podemos integrar e achar L , certo?

Não! Temos que encontrar quanto valem os limites de integração t f e t 0 primeiro!

Passo 4

Os valores de t f e t 0 estão escondidos na pergunta da questão no intervalo de t que o enunciado mostrou! Olha só:

0 ⏟ t 0 ≤ t ≤ 2 ⏟ t f

Logo:

t 0 = 0

t f = 2

Ah, agora simmm podemos calcular a integral, não é mesmo?

Não de novo! Olha a pressa!

Essa integral é muito difícil de ser calculada do jeito que está! Temos que simplificar ela ainda!

Para isso, temos que perceber que o termo que está dentro da raiz se parece com um produto notável chamado de quadrado perfeito.

q u a d r a d o   p e r f e i t o   →   a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

t e r m o   d e   d e n t r o   d a   r a i z   →   1 ⏟ a 2 + 36 ⋅ t 2 ⏟ 2 a b + 18 t 2 2 ⏟ b 2

Se a gente comparar termo a termo, veremos que, no nosso caso:

a = 1

b = 18 t 2

Por causa disso, podemos reescrever a parte de dentro da raiz. Como a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2 :

1 + 36 ⋅ t 2 + 18 t 2 2 = 1 + 18 t 2 2

Substituindo isso na integral, achamos:

L = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 36 ⋅ t 2 + 18 t 2 2   d t

= ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 18 t 2 2   d t

No entanto, calcular a raiz quadrada é mesma coisa que elevar por 1 2 . Logo:

L = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 18 t 2 2 1 2   d t

Quando um número está sendo elevado duas vezes, podemos multiplicar seus dois expoentes. Por isso:

L = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 18 t 2 2 ⋅ 1 2   d t

L = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 18 t 2 1   d t

L = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 18 t 2   d t

Pronto! Agora sim podemos calcular a integral!

Passo 5

Sempre que uma integral tem várias somas como essa, podemos quebrar ela em integrais menores:

L = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 18 t 2   d t

= ∫ t 0 = 0 t f = 2 1   d t + ∫ t 0 = 0 t f = 2 18 t 2   d t

Além disso, precisamos lembrar que a constante não interfere na integral e, por isso, podemos colocar ela pra fora!

∫ t 0 = 0 t f = 2 1   d t + ∫ t 0 = 0 t f = 2 18 t 2   d t = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1   d t + 18 ∫ t 0 = 0 t f = 2 t 2   d t

Quando temos que integrar uma constante que está sozinha na integral, damos um t para fazer companhia a ela!

L = t 0 2 + 18 ∫ t 0 = 0 t f = 2 t 2   d t

Para integrar o t elevado a algum número, usamos a regra abaixo.

∫ t n d x = t n + 1 n + 1

O n dessa regra é o expoente do t na integral. Nesse caso, n vale 2 .

Aplicando a nossa regrinha na nossa integral de t 2 , encontramos:

L = t 0 2 + 18 ∫ t 0 = 0 t f = 2 t 2   d t

= t 0 2 + 18 t 2 + 1 2 + 1 0 2

= t 0 2 + 18 t 3 3 0 2

Os limites de integração 2 e 0 estão presentes para lembrar que ainda precisamos usá-los de alguma forma.

Então vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 6

Finalmente vamos usar os limites de integração!

Fazemos isso, substituindo o t pelos dois limites! Em outras palavras, nós vamos trocar os t ' s por um limite de cada vez. Primeiro, nós vamos trocar o t pelo limite de cima (pelo 2 ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo 0 ). A regra de troca do t é mostrada abaixo.

l i m i t e   d e   c i m a - l i m i t e   d e b a i x o

Usando essa regra, a expressão vira:

L = t 0 2 + 18 t 3 3 0 2

L = 2 - 0 + 18 ⋅ 2 3 3 - 0 3 3

L = 2 + 18 ⋅ 2 3 3

Lembrando que 2 3 vale 8 e que 18 3 é igual a 6 :

L = 2 + 6 ⋅ 8

L = 2 + 48 = 50

Isso quer dizer que o comprimento do caminho percorrido por uma partícula vale 50 !

Aeee! Mais um exercício pra conta!

Resposta

L = 50