Exercícios Resolvidos de Aplicação de Funções Vetoriais, Arcos de Curvas

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Enunciado

Calcule a velocidade da curva r t = ( cos ⁡ t , sen ⁡ t , t 2 ) , indicando a única resposta correta. Considere a resposta em t = π / 4   .

(a) ( - 2,2 , π / 4   )

(b) ( 2 2 , 2 2 , π 4 )

(c) ( - 2 2 , 2 2 , π 2 )

(d) ( - 2 2 , - 2 2 , π 4 )

(e) ( 2 2 , 2 2 , π 2 )

Passo 1

“Velocidade da curva” pode parecer um termo estranho de início, mas tente pensar assim: se o r ( t ) é a posição de uma partícula qualquer em função do tempo, então como a gente pode associar uma velocidade a isso?

Exatamente, temos que derivar a posição em relação ao tempo!

v t = d d t r ( t )

Passo 2

Beleza, vamos derivar a função que o enunciado deu. Lembre-se sempre de que para derivar um vetor, a gente deriva cada uma das componentes, então:

d d t r t = ( d d t cos ⁡ t , d d t sen ⁡ t , d d t t 2 )

Ok, nem precisamos usar regra da cadeia ou coisa do tipo, todas as derivadas são bastante tranquilas:

d d t r t = v t = ( - sen ⁡ t , cos ⁡ t ,   2 t )

Passo 3

E o enunciado pediu para consideramos a resposta em t = π 4 , então vamos substituir na fórmula que acabamos de achar:

v π 4 = V = - sen ⁡ π 4 , cos ⁡ π 4 ,   2 π 4

Bom, você deve lembrar que:

π 4   r a d = 180 4 ° = 45 °

E que o seno e o cosseno desse ângulo são iguais a 2 / 2 :

V = - 2 2 , 2 2 , π 2

Pronto, essa é a resposta!

Resposta

Letra (c). V = - 2 2 , 2 2 , π 2 .