Exercícios Resolvidos de Área de Curvas Parametrizadas

Elaboração Própria

Calcule a área da região do plano limitada pelo laço da curva C de equações paramétricas x = - t 3 3 + t y = t 2 - 1 , considerando o seu gráfico a seguir:

Passo 1

Vamos verificar se há trechos repetidos.

Vamos calcular a área limitada pelo laço da curva C . Pelo gráfico, é possível perceber que não há trechos repetidos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Identificar qual dos 3 tipos de cálculo de áreas vamos usar.

Pelo gráfico, notamos que o problema pode ser resolvido se calcularmos a área entre a curva e o eixo y .

Passo 3

Substituir as informações na integral para calcular a área.

A fórmula para calcular a área é:

A = - ∫ c d x 1 d y + ∫ c d x 2 d y

Onde x 1 é a curva á esquerda do eixo y e x 2 é a curva a direita do eixo y .

No nosso caso a curva é a mesma, o que vai mudar são os limites de integração.

Curva a esquerda do eixo y :

x = - t 3 3 + t y = t 2 - 1 ,   - 3 ≤ t ≤ 0

Curva a direita do eixo y :

x = - t 3 3 + t y = t 2 - 1 ,   0 ≤ t ≤ 3

Vamos encontrar d y :

y = t 2 - 1

Podemos calcular d y = 2 t d t

Agora vamos calcular os limites de integração.

Vamos analisar a parte da curva a esquerda do eixo y . O valor de t no ponto D é t = - 3 e o valor no ponto C é t = 0

Analisando a curva a direita, temos:

O valor de t no ponto D é t = 3 , e no ponto C é t = 0

Portanto, a integral fica:

A = - ∫ c d x 1 d y + ∫ c d x 2 d y

Repare que tem esse menos na primeira integral, pois a curva está a esquerda do eixo y . Substituindo:

A = - ∫ 0 ´ - 3 - t 3 3 + t 2 t d t + ∫ 0 3 - t 3 3 + t 2 t d t

Passo 4

Calcular a integral

Ajeitando:

A = ∫ - 3 ´ 0 - t 3 3 + t 2 t d t + ∫ 0 3 - t 3 3 + t 2 t d t

A = ∫ - 3 ´ 3 - t 3 3 + t 2 t d t = 2 ∫ 0 ´ 3 - t 3 3 + t 2 t d t

Calculando temos:

A = 4 ∫ 0 ´ 3 - t 4 3 + t 2 d t = 4 - t 5 15 + t 3 3 3 0

Portanto:

A = 4 - 9 3 15 + 3 3 3 = 24 3 15 = 8 3 5

Resposta

A = 8 3 5

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