Exercícios Resolvidos de Área de Curvas Parametrizadas

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Enunciado

Sejam 0 < a < b e f : a , b → R uma função positiva com derivada contínua. Determine equações paramétricas das superfícies geradas pela rotação da curva y = f ( x ) em torno do:

a )   eixo x .

b ) eixo y .

Calcule a área da superfície em cada caso.

Passo 1

Faaaala galera, tudo beleza com vocês?

Então, temos aqui uma questão um pouco mais genérica, que nos deu uma curva:

y = f ( x )

E nos passou duas situações: na primeira essa curva é rotacionada em torno do eixo x . Na segunda, essa curva é rotacionada em torno do eixo y .

Em cada uma dessas rotações precisaremos determinar uma equação paramétrica para a superfície de revolução, bem como a área da superfície. Beleza?

A ideia principal pra determinar a equação paramétrica é usar a parametrização de superfícies de revolução. Segundo ela:

- Se temos uma rotação em torno do eixo y , então temos a parametrização:

φ t , θ = x t c o s θ ,   y t ,   x t s e n θ

- Se a rotação é em torno do eixo x , temos:

φ t , θ = x t ,   y t c o s θ ,   y t s e n θ

Tranquilo?

Já pra calcular a área da superfície de revolução, podemos usar uma expressão já conhecida, que revisaremos mais à frente.

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, como aqui nessa questão temos a função:

y = f ( x )

Para fazer a parametrização, diremos que:

x ( t ) = t

y ( t ) = f ( t )

Assim, no caso da rotação em torno do eixo x , teremos:

φ t , θ = x t ,   y t c o s θ ,   y t s e n θ

Substituindo, ficamos com:

φ t , θ = ( t ,   f t c o s θ ,   y t s e n θ )

onde t ∈ [ a , b ] e θ ∈ [ 0,2 π ]

Já no caso da rotação em torno do eixo y , teremos:

φ t , θ = x t c o s θ ,   y t ,   x t s e n θ

Substituindo por t , teremos:

φ t , θ = t ⋅ c o s θ , f t ,   t ⋅ s e n θ  

Onde t ∈ [ a , b ] e θ ∈ [ 0,2 π ] .

Bom, com isso já encerramos a parte das parametrizações.

Vamos agora para o cálculo da área!

Passo 3

Para calcular a área da superfície de revolução, devemos lembrar da ideia semelhante ao método das cascas.

Quando estamos rotacionando uma curva em torno do eixo x , para cada pontinho da curva estamos fazendo uma circunferência de comprimento:

2 π f ( x )

Agora, imagina que cada um desses pontinhos possuem uma pequena espessura, que é dada justamente por:

1 + f ' x 2 d x

(lembra que quando vamos calcular o comprimento de uma curva usamos justamente a expressão acima e integramos no domínio da função?)

Então, juntando essas duas coisas, a área de cada um desses elementozinhos (que lembram o formato de uma pizza, ou de um cilindro bem pequeno haha), seria:

d A = 2 π ⋅ f x ⋅ 1 + f ' x 2 d x

Daí, integrando em ambos os lados, ficamos com:

A =   ∫ a b 2 π ⋅ f x ⋅ 1 + f ' x 2 d x

Perfeito! Essa é a área da superfície quando a rotacionamos em torno do eixo x .

Já quando rotacionamos em torno do eixo y , vai ter uma mudança bem pequena que ocorre no comprimento da circunferência que comentamos antes.

Lembra que antes era dada por:

2 π f ( x )

Pois o raio dessa circunferência era justamente a distância de cada pontinho da curva ao eixo x . Como agora queremos a distância de cada pontinho da curva ao eixo y , esse comprimento da curva torna-se:

2 π ⋅ x

O restante permanece normal. De modo que temos:

d A = 2 π ⋅ x ⋅ 1 + f ' x 2 d x

Integrando em ambos os lados, vem:

A =   ∫ a b 2 π ⋅ x ⋅ 1 + f ' x 2 d x

Excelente pessoal! Assim matamos a questão.

Muito obrigado pela atenção de vocês. Até a próxima 😊

Resposta

Em torno do eixo y :

φ t , θ = t ⋅ c o s θ , f t ,   t ⋅ s e n θ

A =   ∫ a b 2 π ⋅ x ⋅ 1 + f ' x 2 d x

Em torno do eixo x :

φ t , θ = ( t ,   f t c o s θ ,   y t s e n θ )

A =   ∫ a b 2 π ⋅ f x ⋅ 1 + f ' x 2 d x

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