Exercícios Resolvidos de Área de Curvas Parametrizadas

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Enunciado

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

c) S é a parte do plano z = 2 x + 3 y que é interior ao cilindro x 2 + y 2 = 16 ;

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos uma representação paramétrica de S em que S é a parte do plano S é a parte do plano z = 2 x + 3 y que é interior ao cilindro x 2 + y 2 = 16 .

A questão também nos pede para calcular a sua área.

Para podermos resolver isso, primeiramente temos que parametrizar a superfície para a qual estamos trabalhando para prosseguir com os próximos passos que vamos ver juntos, belezinha?

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... parametrizando o plano, temos:

z = 2 x + 3 y

Sendo x e y os parâmetros, temos a representação paramétrica da superfície:

ϕ x , y = x ,   y , 2 x + 3 y    

Passo 3

Já para a área A , devemos fazer:

A = ∬ ∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y d θ   d y

Dessa forma, fazemos:

  • ∂ ϕ ∂ x = 1 , 0 , 2
  • ∂ ϕ ∂ y = 0,1 , 3

Portanto, temos:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = i j k 1 0 2 0 1 3 ∴

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = - 2 i - 3 j + 1 k

Assim, temos:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = - 2 2 + - 3 2 + 1 2 ∴

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = 14

Substituindo na integral, temos:

A = ∬ 14 d x   d y

Passo 4

Já para a região, temos que 0 < θ < 2 π e 0 < r < 4 em coordenadas polares. Portanto, temos:

A = ∫ 0 4 ∫ 0 2 π r 14 d θ d r ∴

A = 16 π 14

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

ϕ x , y = x ,   y , 2 x + 3 y    

A = 16 π 14

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