Exercícios Resolvidos de Área de Curvas Parametrizadas

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Enunciado

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

d) S é a parte do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está ente os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 ;

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos uma representação paramétrica de S em que S é a parte do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está ente os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

A questão também nos pede para calcular a sua área.

Para podermos resolver isso, primeiramente temos que parametrizar a superfície para a qual estamos trabalhando para prosseguir com os próximos passos que vamos ver juntos, belezinha?

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... parametrizando o paraboloide hiperbólico, temos:

z = y 2 - x 2

Sendo x e y os parâmetros, temos a representação paramétrica da superfície:

ϕ x , y = x ,   y , y 2 - x 2    

Passo 3

Já para a área A , devemos fazer:

A = ∬ ∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y d x   d y

Dessa forma, fazemos:

  • ∂ ϕ ∂ x = 1,0 , - 2 x
  • ∂ ϕ ∂ y = 0,1 , 2 y

Portanto, temos:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = i j k 1 0 - 2 x 0 1 2 y ∴

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = 2 x i - 2 y j + 1 k

Assim, temos:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = 2 x 2 + - 2 y 2 + 1 2 ∴

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = 1 + 4 x 2 + 4 y 2

Substituindo na integral, temos:

A = ∬ 14 d x   d y

Passo 4

Já para a região, temos que 0 < θ < 2 π e 1 < r < 2 em coordenadas polares. Portanto, temos:

A = ∫ 1 2 ∫ 0 2 π r 1 + 4 r 2 d θ d r ∴

A = π 6 17 17 - 5 5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

ϕ x , y = x ,   y , y 2 - x 2    

A = π 6 17 17 - 5 5

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