Exercícios Resolvidos de Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Considere a função f : I R - 0 → I R dada por:

f x = x - 1 - 1 x - 1 x 2

É correto afirmar que:

  1. A assíntota de f quando x → + ∞ intercepta o eixo x no ponto x = - 1
  2. A assíntota de f quando x → + ∞ intercepta o eixo x no ponto x = 1
  3. f não tem assíntota quando x → + ∞
  4. A assíntota de f quando x → + ∞ intercepta o eixo x no ponto x = 0
  5. A assíntota de f quando x → + ∞ intercepta o eixo x no ponto x = 2

Passo 1

Esse enunciado é maldoso porque precisa de uma sagacidade pra resolver. Todas as repostas falam sobre limite x → + ∞ , porém nenhuma assíntota horizontal consegue interceptar o eixo x a não ser que seja ele mesmo! Então o que estamos falando aqui é de assíntotas oblíquas! Elas tem o seguinte modelo:

y = m x + n

m = lim x → + ∞ ⁡ f x x

n = lim x → + ∞ ⁡ f x - m x

Vamos então calcular esses limites!

Passo 2

Começando pelo primeiro, vamos ter:

f x = x - 1 - 1 x - 1 x 2

m = lim x → + ∞ ⁡ x - 1 - 1 x - 1 x 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 - 1 x - 1 x 2 - 1 x 3

E fazendo esse limite, temos:

m = 1 - 0 - 0 - 0 = 1

Show, achamos o m . Bora pro n agora:

n = lim x → + ∞ ⁡ f x - m x

n = lim x → + ∞ ⁡ x - 1 - 1 x - 1 x 2 - x

n = lim x → + ∞ ⁡ - 1 - 1 x - 1 x 2 = - 1 - 0 - 0 = - 1

E tai! Modelamos a assíntota oblíqua! Ela vai ser:

y = x - 1

Passo 3

Agora vamos interpretar tudo que achamos. Se a assíntota oblíqua é

y = x - 1

E queremos saber quando que ela toca o eixo x . Oras, o que é isso se não o valor de x que faz y = 0 ? Vamos ter:

x - 1 = 0

x = 1

E a letra que diz isso é a B !

Resposta

L e t r a   B

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