Exercícios Resolvidos de Assíntota Oblíqua

Ver Teoria

Enunciado

  1. Determine TODAS as equações das assíntotas da curva

y = x 2 2 x + 5

Passo 1

Então, se o problema nos pediu todas as assíntotas possíveis, precisamos primeiro de tudo saber quais são todos os tipos possíveis de assíntotas que temos.

A primeira delas, é a horizontal, podemos ter as oblíquas e por último as verticais, se lembra?

Então vamos verificar para cada uma delas!

Passo 2

Vamos começar com as horizontais.

Para a gente encontrar esse tipo de assíntota, a gente tem que verificar um limite, ou melhor dois: o limite da função nos dois infinitos (o positivo e o negativo)

então o positivo é

lim x → + ∞ ⁡ y = lim x → + ∞ ⁡ x 2 2 x + 5

Como temos um caso de ∞ / ∞ , podemos aplicar L’Hopital

lim x → + ∞ ⁡ y = lim x → + ∞ ⁡ ( x 2 ) ' 2 x + 5 '

derivando

lim x → + ∞ ⁡ y = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 =

lim x → + ∞ ⁡ x

Esse limite vai para o infinito positivo!

Olhando agora o lado negativo da história

lim x → - ∞ ⁡ y = lim x → - ∞ ⁡ x 2 2 x + 5 = lim x → - ∞ ⁡ x =

- ∞

Logo, não tem assíntotas horizontais, percebeu?

Passo 3

Vamos procurar agora as oblíquas.

Para verificar esse tipo de assíntota, devemos fazer uma continha muito parecida com a de cima, porém, devemos agora calcular o limite de

lim x → + ∞ ⁡ y x  

e também o esse limite, mas com o x indo para o infinito negativo

lim x → - ∞ ⁡ y x

Se ambos derem algum resultado, então é porque existe assíntota oblíqua.

Passo 4

então vamos lá

lim x → + ∞ ⁡ y x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 2 x + 5 x =

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + 5  

Aplicando L ' hospital novamente

lim x → + ∞ ⁡ y x = lim x → + ∞ ⁡ 1 2 = 1 2

Epa! deu resultado! então é porquê existe assíntota obliqua!

Passo 5

Já que existe assíntota obliqua, quem é ela?

Bem, ela é uma reta, certo? e como reta ( y = m x + h ), ela possui o coeficiente angular m , que vale exatamente o limite de cima

m = 1 2

E quem é o h ?

Bem, para isso, fazemos de acordo com a teoria...

h = lim x → + ∞ ⁡ y - m x =

lim x → + ∞ ⁡ x 2 2 x + 5 - 1 2 x

Para calcular esse limite, primeiro vamos unir essas duas frações

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 2 x + 5 2 - x 2 x + 5 2 x + 5 2 =

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 - x 2 x + 5 2 x + 5 2

simplificando esse parênteses em cima e em baixo

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 - 2 x 2 - 5 x 4 x + 10 =

lim x → + ∞ ⁡ - 5 x 4 x + 10

Aplicando L ' h o p i t a l

lim x → + ∞ ⁡ - 5 x 4 x + 10 = lim x → + ∞ ⁡ - 5 4 = - 5 4

Logo

a primeira assíntota obliqua é

y = 1 2 x - 5 4

Passo 6

EPA! Calculamos uma assíntota obliqua para o lado positivo, mas e para o lado negativo, como vimos no passo 3

lim x → - ∞ ⁡ y x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 2 x + 5 x =

como já vimos, aplicando L ' H o p i t a l

lim x → - ∞ ⁡ x 2 x + 5 = 1 2

Chagamos exatamente no mesmo valor de m , mas isso não significa que a outra assíntota obliqua será a mesma, por isso deveríamos calcular o h = lim x → - ∞ ⁡ y - m x

UÉ! Mas deveríamos porque?

Porque se você notar bem, no calculo de m ele deu o mesmo valor por que quando aplicamos o L’hopital, chagamos em um limite que não dependia de x

m = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + 5 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x + 5 = 1 2

e o mesmo acontece para o h

h = lim x → + ∞ ⁡ - 5 x 4 x + 10 = lim x → - ∞ ⁡ - 5 x 4 x + 10 = - 5 4

percebeu? Quando isso acontecer, cara, ganha tempo na sua prova: só existe uma assíntota oblíqua! e já vimo que ela é

y = 1 2 x - 5 4

Passo 7

Mas não acabamos ainda! Falta verificar se essa função tem assíntotas horizontais.

A primeira coisa que devemos averiguar aqui é se ela tem algum ponto problemático, ou seja

y = x 2 2 x + 5

note que o denominador não pode zerar, então o ponto de problema é quando o denomidor zera

2 x + 5 = 0         →             x = - 5 2

Então esse é um possível ponto de assíntota vertical. Vamos verificar se é mesmo?

Passo 8

Para verificar isso... sim, limite

lim x → - 5 2 + ⁡ y = lim x → - 5 2 + ⁡ x 2 2 x + 5

Observe que nesse limite, o nominador vai para um número, mais especificamente

- 5 2 2 = 25 4

e o denominador a zero, portanto o limite está indo para algum infinito (não interessa muito qual é aqui não)

o mesmo vale se fizermos o limite pelo lado esquerdo

lim x → - 5 2 - ⁡ y = 25 4 z e r o = ∞

Logo, esse ponto

x = - 5 2

é sim uma assíntota vertical, percebeu?

Resposta

x = - 5 2           →             A s s í n t o t a   v e r t i c a l

y = 1 2 x - 5 4     →               A s s í n t o t a   o b l í q u a

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a equação da assíntota oblíqua. Não desenhe a curva y = x 2 + 1 x + 1
Faça o gráfico da função e inclua o gráfico e a equação das assíntotas y = x 2 x - 1
Faça o gráfico da função e inclua o gráfico e a equação das assíntotas y = x 2 + 1 x - 1
Faça o gráfico da função e inclua o gráfico e a equação das assíntotas y = x 3 - 1 x 2
Faça o gráfico da função e inclua o gráfico e a equação das assíntotas y = x 2 - 4 x - 1