Enunciado

Considere as funções

f x = 2 x 2 - 3 x + 1 x 2 x - 1

g x = x 2   e 1 x x - 1

  1. Determine as equações das retas assíntotas verticais do gráfico de f , caso existam
  2. Considere D o m   g = 0,1 ∪ 1 , + ∞ . Determine a equação da reta assíntota horizontal do gráfico de g , caso exista
  3. Considere D o m   g = 0,1 ∪ 1 , + ∞ . Determine a equação da reta assíntota oblíqua do gráfico de g , caso exista

Passo 1

Fala galera. Bora começar. É uma questão só de assíntotas, mas de gráficos diferentes. De início, vamos lembrar que assíntotas verticais só existem se pelo menos um dos limites laterais, pra x tendendo a um ponto que de problema, explodir pra algum infinito. Como:

f x = 2 x 2 - 3 x + 1 x 2 x - 1

Os pontos que dão problema s��o x = 0 e x = 1 2 que são os que zeram o denominador! Começando com x = 0 , temos:

lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 - 3 x + 1 x 2 x - 1 = 1 0 - = - ∞

lim x → 0 - ⁡ 2 x 2 - 3 x + 1 x 2 x - 1 = 1 0 + = + ∞

Show, achamos uma assíntota. Agora, se fizermos pro outro valor de x :

lim x → 1 2 ⁡ 2 x 2 - 3 x + 1 x 2 x - 1 = 0 0

Como isso ai é uma indeterminação, vamos ter que nos livrar dela. Uma forma de livrar é fazendo Regra de L’Hospital. Então derivando em cima e em baixo:

lim x → 1 2 ⁡ 2 x 2 - 3 x + 1 x 2 x - 1 = lim x → 1 2 ⁡ 2 x 2 - 3 x + 1 2 x 2 - x = lim x → 1 2 ⁡ 2 x 2 - 3 x + 1 ' 2 x 2 - x ' =

= lim x → 1 2 ⁡ 4 x - 3 4 x - 1 = 2 - 3 2 - 1 = - 1 1 = - 1

É galera, aqui não explodiu! Então temos somente que x = 0 é única assíntota vertical de f

Passo 2

Agora vamos mudar o clima e falar das assíntotas horizontais. Mas de g , então mudou a função também. Pra essas, a gente faz os limites pros infinitos e espera achar um número. Se não acharmos, sem assíntota! Então:

g x = x 2   e 1 x x - 1

lim x → ± ∞ ⁡ x 2   e 1 x x - 1 = lim x → ± ∞ ⁡ x 2   e 1 x x - 1 ∙ lim x → ± ∞ ⁡ e 1 x = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 x - 1 ∙ lim x - → + ∞ ⁡ e 1 x

= lim x → ± ∞ ⁡ x 2 1 x 1 - 1 x ∙ lim x → ± ∞ ⁡ e 1 x = lim x → ± ∞ ⁡ x ∙ lim x → ± ∞ ⁡ 1 1 - 1 x ∙ lim x → ± ∞ ⁡ e 1 x

Dois dos três limites acima dão número, mas o outro da infinito!

lim x → ± ∞ ⁡ x = ± ∞ lim x → ± ∞ ⁡ 1 1 - 1 x = 1 lim x → ± ∞ ⁡ e 1 x = e 0 = 1

Então não rola assíntota horizontal nesse caso

Passo 3

Olha, pode até não ter assíntota horizontal, mas será que tem oblíqua? Bem, como não da pra ter os dois ao mesmo tempo, ta valendo o teste! A equação da assíntota oblíqua é dada por:

y = m x + n

Onde:

m = lim x → ± ∞ ⁡ g x x

n = lim x → ± ∞ ⁡ g x - m x

Fazendo pra m , temos:

m = lim x → ± ∞ ⁡ x 2   e 1 x x - 1 x = lim x → ± ∞ ⁡ x   e 1 x x - 1

m = lim x → ± ∞ ⁡ x   e 1 x x - 1 ∙ lim x → ± ∞ ⁡ e 1 x = lim x → ± ∞ ⁡ x x - 1 ∙ lim x - → + ∞ ⁡ e 1 x

m = lim x → ± ∞ ⁡ x 1 x 1 - 1 x ∙ lim x → ± ∞ ⁡ e 1 x = lim x → ± ∞ ⁡ 1 1 - 1 x ∙ lim x → ± ∞ ⁡ e 1 x

E já vimos esse resultado em! Ficamos com m = 1 . Agora pra achar n :

n = lim x → ± ∞ ⁡ x 2   e 1 x x - 1 - x = lim x → ± ∞ ⁡ x 2   e 1 x x - 1 - x x - 1 x - 1 = lim x → ± ∞ ⁡ x 2   e 1 x x - 1 - x 2 - x x - 1

n = lim x → ± ∞ ⁡ x 2   e 1 x - x 2 + x x - 1 = lim x → ± ∞ ⁡ x 2   e 1 x - 1 + x x - 1

Colocando termos de x em evidência:

n = lim x → ± ∞ ⁡ x   x e 1 x - 1 + 1 x 1 - 1 x = lim x → ± ∞ ⁡ x e 1 x - 1 + 1 1 - 1 x = lim x → ± ∞ ⁡ x e 1 x - 1 + 1 lim x → ± ∞ ⁡ 1 - 1 x

n = 1 + lim x → ± ∞ ⁡ x e 1 x - 1 1 = 1 + lim x → ± ∞ ⁡ x e 1 x - 1

Ok, ainda tem um limite pra calcular. Nota que:

lim x → ± ∞ ⁡ x e 1 x - 1 = ± ∞ e 0 - 1 = ± ∞ 1 - 1 = ± ∞ 0

Ou seja, esse limite dá uma indeterminação! Precisamos nos livrar dela. Pra isso, se reescrevermos:

lim x → ± ∞ ⁡ x e 1 x - 1 = lim x → ± ∞ ⁡ e 1 x - 1 1 x = 0 0

Apesar de não sumirmos com a indeterminação, pelo menos mudamos o tipo! E mudar o tipo pra 0 0 é bom porque agora da pra usar L’Hospital! Vamos ter:

lim x → ± ∞ ⁡ e 1 x - 1 1 x = lim x → ± ∞ ⁡ e 1 x - 1 ' 1 x ' = lim x → ± ∞ ⁡ 1 x ' ∙ e 1 x 1 x ' = lim x → ± ∞ ⁡ e 1 x = e 0 = 1

E fechamos!

n = 1 + lim x → ± ∞ ⁡ x e 1 x - 1 = 1 + 1 = 2

A equação da assíntota será:

y = x + 2

Resposta

  1. x = 0 é única assíntota vertical de f
  2. Sem assíntotas verticais para g
  3. g possui a assíntota oblíqua y = x + 2

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