Exercícios Resolvidos de Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Seja

f x = x + e x + arctan ⁡ ( 2 x )

Determine todas as assíntotas (verticais, horizontais e inclinadas) que existirem.

Passo 1

Vamos começar determinando as assíntotas verticais. Para isso, precisamos saber se existem pontos de descontinuidade para a função e quais. Nesse caso, o domínio de f é todo o conjunto dos números reais, portanto não há descontinuidade e a função não tem assíntotas verticais.

Passo 2

Quanto às assíntotas horizontais, temos que fazer o limite quando x tende a ± ∞ . Então vamos lá!

lim x → ∞ ⁡ x + e x + arctan ⁡ 2 x = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x + e x + arctan ⁡ 2 x = - ∞

Como nenhum dos limites resultou em um número, significa que a função não possui assíntotas horizontais.

Passo 3

Agora só falta ver se a função tem assíntota inclinada. Para calcular esse tipo de assíntota, cujas equações são da forma

y = m x + n

temos que fazer primeiro

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x

e depois fazer

n = lim x → ± ∞ ⁡ f x - m x

Partiu achar assíntotas obliquas então! Kkk

Passo 4

m = lim x → ∞ ⁡ x + e x + arctan ⁡ ( 2 x ) x = ∞ ∞

Aplicando L’Hospital

m = lim x → ∞ ⁡ x + e x + arctan ⁡ ( 2 x ) x = lim x → ∞ ⁡ 1 + e x + 2 1 + 4 x ² 1 = 1 + ∞ + 0 = ∞

Passo 5

Agora fazendo o m para - ∞ :

m = lim x → - ∞ ⁡ x + e x + arctan ⁡ ( 2 x ) x = - ∞ - ∞

Aplicando L’Hospital

m = lim x → - ∞ ⁡ x + e x + arctan ⁡ ( 2 x ) x = lim x → - ∞ ⁡ 1 + e x + 2 1 + 4 x ² 1 = 1 + e - ∞ + 0 = 1 + e ∞ = 1 + 0 = 1

Uhul! Achamos um m . Agora podemos calcular n e determinar a reta que é assíntota oblíqua de f .

n = lim x → - ∞ ⁡ x + e x + arctan ⁡ ( 2 x ) - x = lim x → - ∞ ⁡ e x + arctan ⁡ ( 2 x ) = 0

Portanto, a assíntota inclinada de f é

y = x

Resposta

y = x

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