Exercícios Resolvidos de Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Seja f x = x 2 + 1 . Determine todas as assíntotas de f x .

Passo 1

Primeiro, vamos analisar o domínio. Nesse caso, não vamos ter nenhum problema porque não há nenhum valor de x que nossa função não aceite, beleza? Em matematiquês, é o mesmo que dizer que não temos indeterminações.

E olha só! Se não temos indeterminações, não vamos ter candidatos à assíntotas verticais!

Passo 2

Vamos procurar agora assíntotas horizontais. Para isso, vamos jogar nosso limite para + ∞ e - ∞ , tranquilo?

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 1

E saca só, o x está ao quadrado! Então já sabemos que não tem como o interior dessa raiz ser um número negativo! Não importa se x → + ∞ ou x → - ∞ o limite vai ser sempre:

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 1 = + ∞

Então descartamos também a possibilidade de termos assíntotas horizontais!

Passo 3

Quando temos assíntotas horizontais para x → + ∞ e/ou para x → - ∞ , temos a certeza que não existem assíntotas oblíquas. Como nesse caso não temos nem assíntotas verticais nem horizontais, vamos checar pra ver se a gente acha oblíquas? Simbora:

y = m x + n

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x           ;           n = lim x → ± ∞ ⁡ f x - m x

Seja f x = x 2 + 1 , é só calcular agora. Pro coeficiente angular primeiro, ficamos com:

m = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 1 x  

Pra resolver esse limite, saca só esse conceito importante aqui:

x 2 = x =   x ,     s e   x > 0 - x ,     s e   x < 0

Pra x → + ∞ , temos que x > 0 , então x 2 = x = x . Sendo assim:

m = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 =

= lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 +   1 x 2  

= 1 +   0 = 1

Pra x → - ∞ , temos que s e   x < 0 , então x 2 = x = - x . Sendo assim:

m = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 =

= lim x → - ∞ ⁡ - x 2 + 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ - 1 +   1 x 2  

= - 1 +   0 = - 1

Opa, se temos dois valores de m diferentes então temos duas assíntotas oblíquas diferentes! Já que é assim, vamos usar valores diferentes de m no cálculo de n . Para m = 1 , usamos x → + ∞ . Logo, calculamos n :

n = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x

Multiplicando pelo conjugado:

n = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x x 2 + 1 + x x 2 + 1 + x

n = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 + x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 + 1 + x = 1 + ∞ = 0

E, pra fechar com chave de ouro, usando m - 1 , temos que x → - ∞ . Logo, calculamos n :

n = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 + x

Multiplicando pelo conjugado: n = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 + x x 2 + 1 - x x 2 + 1 - x

n = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 - x = lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 + 1 - x = 1 + ∞ = 0

Opa, se o n = 0 tanto pra m = 1 quanto pra m = - 1 , nossas duas assíntotas oblíquas vão ser:

y = x

y = - x

Resposta

A s s .   v e r t i c a l : -

A s s .   h o r i z o n t a l : -

A s s .   o b l í q u a :   y = x y = - x

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