Exercícios Resolvidos de Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Seja x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 . Determine a(s) assíntota(s) oblíqua(s) de y .

Passo 1

Essa questão já ta nos dizendo que tem pelo menos uma assíntota oblíqua, então já nem precisamos nos preocupar em achar outras assíntotas. Então nesse passo, vamos desenrolar esse enunciado e escrever y = f x . Saca só:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

x b 2 - y a 2 a b 2 = 1

x b 2 - y a 2 = a b 2

y a 2 = x b 2 - a b 2

y a 2 = b 2 x 2 - a 2

y a = ± b 2 x 2 - a 2

y = f x = ± b a x 2 - a 2

Eita, então teremos duas funções diferentes pra analisar nesse caso! Vamos com calma que chegamos lá:

Passo 2

Vamos lembrar que as assíntotas oblíquas são definidas por:

y = m x + n

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x           ;           n = lim x → ± ∞ ⁡ f x - m x

Então, uma coisa de cada vez se não a gente se afoba. Primeiro achamos m , depois n . Para a função f x = b a x 2 - a 2 , o cálculo de m vai ficar:

m = lim x → ± ∞ ⁡ b a x 2 - a 2 x

Colocando x 2 em evidência:

m = lim x → ± ∞ ⁡ b a x 2 1 - a 2 x 2 x = lim x → ± ∞ ⁡ b a x 1 - a 2 x 2 x =   lim x → ± ∞ ⁡ b a 1 - a 2 x 2

Aplicando o limite:

m = b a 1 - 0 = b a

Agora vamos calcular o valor de n . Felizmente só vamos ter 1 n pra nos preocuparmos já que também só achamos 1 m . Como m = b a , calculamos o n da seguinte forma:

n = lim x → ± ∞ ⁡ b a x 2 - a 2 - b a x = b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x

Multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo:

n = b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x x 2 - a 2 + x x 2 - a 2 + x = b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x 2 x 2 - a 2 + x

n = b a lim x → ± ∞ ⁡ - a 2 x 2 - a 2 + x

Agora que não tem nenhum termo com x em cima, vemos que independente de se x → + ∞ ou se x → - ∞ , todo o denominador tende a números infinitamente grandes e, sendo a uma constante, esse limite vai a 0 . Logo:

n = 0

E a assíntota oblíqua de f x = b a x 2 - a 2 vai ser:

y = b a x

Passo 3

Agora, para a função f x = - b a x 2 - a 2 , o cálculo de m e n vai ficar bem parecido, quase igual na verdade! Mas pra não deixarmos de fazer, vamos seguir os mesmos passos. Começando por m então, temos:

m = lim x → ± ∞ ⁡ - b a x 2 - a 2 x

m = lim x → ± ∞ ⁡ - b a x 2 1 - a 2 x 2 x = lim x → ± ∞ ⁡ - b a x 1 - a 2 x 2 x =   lim x → ± ∞ ⁡ - b a 1 - a 2 x 2

Aplicando o limite:

m = - b a 1 - 0 = - b a

Para o cálculo de n então vamos ter:

n = lim x → ± ∞ ⁡ - b a x 2 - a 2 + b a x = - b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x

n = - b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x x 2 - a 2 + x x 2 - a 2 + x = - b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x 2 x 2 - a 2 + x

n = - b a lim x → ± ∞ ⁡ - a 2 x 2 - a 2 + x

E aplicando o limite, chegamos também à n = 0 . Por fim, obtemos que a assíntota obl��qua de f x = - b a x 2 - a 2 vai ser:

y = - b a x

Passo 4

Agora é só juntar tudo bonitinho. A curva:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Terá duas assíntotas oblíquas:

A s s .   o b l í q u a :   y = b a x y = - b a x

Graficamente, vemos:

Resposta

A s s .   o b l í q u a :   y = b a x y = - b a x

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