Exercícios Resolvidos de Assíntota Oblíqua

PUC-RJ - Cálculo B - P4 2014.1 – 2

Seja f x = x + arctg ⁡ e x . Determine todas as assíntotas da curva y = f x . Calcule cuidadosamente todos os limites necessários. Apresente as equações das assíntotas encontradas e justifique caso não haja algum tipo de assíntota horizontal, vertical e obliqua (inclinada).

Passo 1

Bom, já vemos que, dada a função, não há nenhum impeditivo para o domínio de f . Vemos que o domínio dessa função é dado pelos números reais, não havendo descontinuidade. Com isso, não teremos assíntotas verticais!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Procurando agora assíntotas horizontais, fazemos o limite para x → - ∞ e x → ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ x + arctg ⁡ e x = - ∞ + arctg ⁡ 0

= - ∞

lim x → ∞ ⁡ x + arctg ⁡ e x = ∞ + arctg ⁡ ∞

= ∞

Bom, se os dois limites explodiram é por que não temos assíntotas horizontais.

Passo 3

Resta só procurar assíntotas oblíquas. Para x → - ∞ , modelamos uma assíntota oblíqua por y = m x + n . Por definição, os coeficientes serão:

m = lim x → - ∞ ⁡ x + arctg ⁡ e x x = lim x → - ∞ ⁡ 1 + arctg ⁡ e x x

= 1 + arctg ⁡ 0 - ∞ = 1

n = lim x → - ∞ ⁡ x + arctg ⁡ e x - m x = lim x → - ∞ ⁡ arctg ⁡ e x

= arctg ⁡ 0 = 0

Ou seja, uma assíntota oblíqua será y = x .

Passo 4

Agora para x → ∞ , modelamos a assíntota como y = m * x + n * , por definição os coeficientes serão:

m = lim x → ∞ ⁡ x + arctg ⁡ e x x = lim x → ∞ ⁡ 1 + arctg ⁡ e x x

= 1 + arctg ⁡ ∞ ∞ = 1

n = lim x → ∞ ⁡ x + arctg ⁡ e x - m x = lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ e x

= arctg ⁡ ∞ = π 2

A outra assíntota oblíqua será y = x + π 2 .

Resposta

f x   n ã o   t e m   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s   e   v e r t i c a i s .  

T e m   d u a s   a s s í n t o t a s   o b l í q u a s ,   y = x   e   y = x + π 2

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