Exercícios Resolvidos de Assíntota Oblíqua

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2014.1 – 1

Seja f x = arctg ⁡ x 4 - 3 x . Determine todas as assíntotas de f x .

Passo 1

Primeiro, vamos analisar o domínio. O numerador é constituído por arctg ⁡ ( x ) que é contínuo para todo x . Já no denominador temos uma equação que tem que ser diferente de 0 . Calculando, achamos um valor de x que a função não pode assumir:

4 - 3 x ≠ 0

3 x ≠ 4

x ≠ log 3 ⁡ 4

Ou seja, o domínio da função é o conjunto dos reais menos esse ponto: R - log 3 ⁡ 4 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para determinar assíntotas verticais nós temos que procurar aonde a função não está definida, descontinuidades do domínio. O único ponto onde isso pode acontecer é justamente onde temos x = log 3 ⁡ 4 :

lim x → log 3 ⁡ 4 + ⁡ arctg ⁡ x 4 - 3 x = arctg ⁡ log 3 ⁡ 4 4 - 3 log 3 ⁡ 4

= arctg ⁡ log 3 ⁡ 4 0

= - ∞

lim x → log 3 ⁡ 4 - ⁡ arctg ⁡ x 4 - 3 x = arctg ⁡ log 3 ⁡ 4 4 - 3 log 3 ⁡ 4

= arctg ⁡ log 3 ⁡ 4 0

= ∞

Passo 3

Procuramos agora assíntotas horizontais. Para isso, vamos jogar nosso limite para + ∞ e - ∞ .

Ora, arco tangente é uma função que tem a imagem definida entre – π 2 , π 2 . No caso, assim como lim x → π 2 ⁡ tg ⁡ ( x ) = ∞ temos:

lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ ( x ) = π 2

Da mesma forma, pelo mesmo raciocínio, acharemos:

lim x → - ∞ ⁡ arctg ⁡ ( x ) = - π 2

Assim, calculando os limites de f ( x ) quando x → ∞ e quando x → - ∞ temos:

lim x → + ∞ ⁡ arctg ⁡ x 4 - 3 x = π 2 - ∞

= 0

lim x → - ∞ ⁡ arctg ⁡ x 4 - 3 x = - π 2 4 - 0

= - π 8

Concluímos, temos duas assíntotas horizontais, uma em y = 0 e outra em y = - π 8 .

Passo 4

Como temos assíntotas horizontais para x → + ∞ e para x → - ∞ , percebemos que não existem assíntotas oblíquas.

Resposta

A s s .   v e r t i c a l : x = log 3 ⁡ 4

A s s .   h o r i z o n t a l : y = 0   ; y = - π 8

A s s .   o b l í q u a :   -

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas