Exercícios Resolvidos de Assíntota Oblíqua

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Enunciado

A função f ( x )   =   a x ²   +   b x   +   4 x + 3 possui y   =   2 x   +   5 como assíntota. Então, a   +   b vale:

a. 10

b. 11

c. 12

d. 13

e. 14

Passo 1

Pelo enunciado, sabemos que f possui uma assíntota oblíqua que é a reta y = 2 x + 5 . O coeficiente angular da assíntota obliqua é calculado fazendo

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x

Pela equação da reta dada temos que

m = 2

Como a reta é crescente, podemos concluir que a assíntota existe para x → + ∞ . Logo:

lim x → + ∞ ⁡ a x ²   +   b x   +   4 x + 3 x = 2

lim x → + ∞ ⁡ a x ²   +   b x   +   4 x ² + 3 x = 2

lim x → + ∞ ⁡ a   + b x   + 4 x ² 1 + 3 x = 2

a   + 0 + 0 1 + 0 = 2

a = 2

Passo 2

Agora podemos descobrir o coeficiente linear n fazendo

n = lim x → ∞ ⁡ f x - m x

Pela equação da reta sabemos que

n = 5

Portanto

lim x → ∞   2 x ²   +  bx   +   4 x + 3 ⁡ - 2 x = 5

lim x → ∞   2 x 2 +  bx   +   4 - 2 x 2 - 6 x x + 3 ⁡ = 5

lim x → ∞    bx   +   4 - 6 x x + 3 ⁡ = 5

lim x → ∞     b   + 4 x - 6 1 + 3 x ⁡ = 5

    b   - 6 1 ⁡ = 5

b = 5 + 6 = 11

Passo 3

Agora podemos fazer a soma a + b :

a + b = 2 + 11 = 13

Resposta

d

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