Exercícios Resolvidos de Assíntota Oblíqua

Ver Teoria

Enunciado

Seja y 3 - x 2 6 - x = 0 . Determine a(s) assíntota(s) oblíqua(s) de y .

Passo 1

Essa questão já ta nos dizendo que tem pelo menos uma assíntota oblíqua, então já nem precisamos nos preocupar em achar outras assíntotas. Então nesse passo, vamos desenrolar esse enunciado e escrever y = f x . Saca só:

y 3 - x 2 6 - x = 0

y 3 = x 2 6 - x

y 3 = 6 x 2 - x 3

y = f x = 6 x 2 - x 3 3

Passo 2

Vamos lembrar que as assíntotas oblíquas são definidas por:

y = m x + n

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x           ;           n = lim x → ± ∞ ⁡ f x - m x

Então, uma coisa de cada vez se não a gente se afoba. Primeiro achamos m , depois n . O cálculo de m vai ficar:

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 3 x

Se a gente colocar no numerador o x 3

m = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 3 x 3 3 = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 x 3 3

m = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x - 1 3 = 0 - 1 3 = - 1 3 = - 1

Passo 3

Agora vamos calcular o valor de n . Felizmente só vamos ter 1 n pra nos preocuparmos já que também só achamos 1 m . Como m = - 1 , calculamos o n da seguinte forma:

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 3 + x

Puts, esse limite parece complicado. Mas olha um detalhe importante dele: a raiz cúbica! Ela atrapalha, não é mesmo? Que tal tentarmos tirar ela daí usando esse produto notável:

a + b a 2 - a b + b 2 = a 3 + b 3

Se fizermos a = 6 x 2 - x 3 3 e b = x , multiplicando em cima e em baixo por a 2 - a b + b 2 temos:

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 3 + x ∙ 6 x 2 - x 3 3 2 - x 6 x 2 - x 3 3 + x 2 6 x 2 - x 3 3 2 - x 6 x 2 - x 3 3 + x 2

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 3 3 + x 3 6 x 2 - x 3 2 3 - x 6 x 2 - x 3 3 + x 2

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 + x 3 6 x 2 - x 3 2 3 - x 6 x 2 - x 3 3 + x 2

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 6 x 2 - x 3 2 3 - x 6 x 2 - x 3 3 + x 2

Show de bola, numerador simplificado. Agora vamos simplificar o denominador. Vamos abrir o termo 6 x 2 - x 3 2 :

6 x 2 - x 3 2 = 36 x 4 - 12 x 5 + x 6

E colocando x 6 em evidência:

6 x 2 - x 3 2 = x 6 36 x 2 - 12 x + 1

Agora, colocando x 3 em evidência em 6 x 2 - x 3 , ficamos com:

6 x 2 - x 3 = x 3 6 x - 1

Jogando isso dentro do denominador:

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 x 6 36 x 2 - 12 x + 1 3 - x x 3 6 x - 1 3 + x 2

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 x 2 36 x 2 - 12 x + 1 3 - x ∙ x 6 x - 1 3 + x 2

Colocando x 2 em evidência:

n = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 x 2 6 36 x 2 - 12 x + 1 3 - 6 x - 1 3 + 1

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 36 x 2 - 12 x + 1 3 - 6 x - 1 3 + 1

E, finalmente, aplicando o limite:

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 36 x 2 - 12 x + 1 3 - 6 x - 1 3 + 1 = 6 0 - 0 + 1 3 - 0 - 1 3 + 1 =

n = 6 1 3 - - 1 3 + 1 = 6 1 - - 1 + 1 = 6 3 = 2

Ufa, cabou! A assíntota oblíqua será então:

y = - x + 2

Resposta

A s s .   o b l í q u a :   y - x + 2

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a equação da assíntota oblíqua. Não desenhe a curva y = x 2 + 1 x + 1
Faça o gráfico da função e inclua o gráfico e a equação das assíntotas y = x 2 x - 1
Faça o gráfico da função e inclua o gráfico e a equação das assíntotas y = x 2 + 1 x - 1
Faça o gráfico da função e inclua o gráfico e a equação das assíntotas y = x 3 - 1 x 2
Faça o gráfico da função e inclua o gráfico e a equação das assíntotas y = x 2 - 4 x - 1