Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp. 549-44.

Um arco de metal delgado está ao longo da semicircunferência y = a 2 - x 2 no plano x y . A densidade no ponto ( x ,   y ) sobre o arco é δ x , y = 2 a - y .   Encontre o centro de massa.

Passo 1

Quando ele pede o centro de massa, na verdade ele pede os valores das coordenadas x - e y - .

Então, como vimos, encontramos pelas integrais de linha:

x - = C x δ x , y d s M

y - =   C y δ x , y d s M

Onde a massa M , nós calculamos também por uma integral de linha:

M = C δ x ,   y d s

No enunciado, ele já dá a densidade δ x , y = 2 a - y , então, pra começar, vamos parametrizar a curva.

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Passo 2

Temos a equação cartesiana da curva, que, se desenvolvermos mais um pouco, fica:

y = a 2 - x 2   y 2 =   a 2 - x 2 x 2 + y 2 = a 2

Que seria a equação da circunferência de raio a , certo?

Mas cuidado! Como ele diz no enunciado, a curva C é uma semicircunferência e, na verdade, só estamos interessados na parte y 0 .

A parametrização, então, é dada por σ = ( a cos t ,   a sen t ) , com 0 t π , lembrando que são apenas os valores de y não negativos.

Passo 3

Agora, podemos calcular σ ' t

σ ' t = d x d t 2 + d y d t 2 = a 2 sen 2 t + a 2 cos 2 t = a

Pelo menos um valor simples, né? Mas agora respira fundo que são 3 integrais pra calcular!

Passo 4

Vamos começar com a massa:

M =   0 π δ x t , y t σ ' t d t

Pra lembrar, já temos a densidade, que aplicando a parametrização fica δ = 2 a - a sen t ; e o módulo do vetor tangente vale a . Então, substituindo:

0 π δ x t , y t σ ' t d t =   0 π 2 a - a sen t a   d t

= a 2 0 π 2 - sen t d t = a 2 2 t 0 π + cos t 0 π = a 2 ( 2 π - 2 )

Agora sim podemos calcular as coordenadas do centro de massa.

Passo 5

Primeiro vamos achar a coordenada x - :

x - = C x δ x , y d s   M

Já temos a massa M . Então, vamos calcular a integral de cima separado:

C x δ x , y d s =   0 π x t δ x ( t ) , y ( t ) σ ' t d t

De novo, lembramos que já temos a parametrização de x , que é ( a cos t ) ; a densidade, que com as variáveis parametrizadas fica δ = 2 a - a sen t ; e o módulo do vetor tangente vale a .

Jogando tudo na fórmula, temos:

0 π x t δ x t , y t σ ' t d t = 0 π a cos t 2 a - a sen t a   d t

=   a 3 0 π 2 cos t - sen t cos t d t = a 3 ( 2 sen t 0 π - cos 2 t 2 0 π ) = 0

Tudo isso pra chegarmos em 0 ?? Bem, pelo menos é o valor mais simples possível, então não vamos reclamar. haha

Nossa coordenada: x - = 0 M = 0 .

Passo 6

Pra finalizar, vamos calcular a coordenada y - , dada por:

y - = C y δ x , y d s   M

E, de novo, vamos calcular a integral separada pra ficar organizado:

C y δ x , y d s =   0 π y t δ x ( t ) , y ( t ) σ ' t d t

Mais uma vez, vamos usar: a parametrização de y , que usamos ( a sen t ) ; a densidade, δ = 2 a - a sen t ; e o módulo do vetor tangente vale a . Vamos substituir, para ter:

0 π x t δ x t , y t σ ' t d t = 0 π a sen t 2 a - a sen t a   d t

= a 3 0 π ( 2 sen t - sen 2 t ) d t = a 3 - 2 cos t 0 π - t 2 - sen 2 t 4 t = 0 t = π = a 3 ( 4 - π 2 )

É, com esse não tivemos tanta sorte...

Mas então, pra fechar, finalmente:

y - = a 3 4 - π 2 a 2 2 π - 2 = a 4 - π 2 2 π - 2

Nada simpático, mas terminamos!

Resposta

x - = 0   ; y - =   a 4 - π 2 2 π - 2

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