Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

Um arame tem a forma da curva interseção do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0 , com o plano x + z = 2 e a densidade no ponto ( x ,   y ) é σ x ,   y ,   z = x y . Qual a massa do arame?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a massa do arame de densidade σ x ,   y ,   z = x y , sabendo que ele tem o formato da curva de interseção de um hemisfério da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0 , com o plano x + z = 2 . É como se o nosso arame fosse essa partizinha vermelha da esfera destacada pelo plano em amarelo:

Pra calcular a massa dele, vamos precisar calcular a integral da função densidade sobre a curva γ :

m = ∫ γ σ x ,   y ,   z   d s

Como essa é uma integral de linha sobre uma curva, o que vamos fazer é tentar parametrizar essa curva, definindo os limites de integração e escrever a densidade em função da parametrização. Integrando, teremos nossa massa m .

Vamos lá!

Passo 2

Como queremos a curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x + z = 2 , vamos isolar z na equação do plano e substituir uma equação na outra:

x + z = 2 → z = 2 - x

Substituindo em x 2 + y 2 + z 2 = 4 :

x 2 + y 2 + ( 2 - x ) 2 = 4

x 2 + y 2 + 4 - 4 x + x 2 = 4

2 x 2 - 4 x + y 2 = 0

Completando o quadrado, vamos ter:

2 x - 1 2 - 2 + y 2 = 0

2 x - 1 2 + y 2 = 2

Dividindo todo mundo por 2 :

x - 1 2 + y 2 2 = 1

E temos a equação de uma esfera no plano, que nós podemos parametrizar usando:

cos ⁡ t = x - 1

x = 1 + cos ⁡ t

E

sin ⁡ t = y 2

y = 2 sin ⁡ t

Para descobrir a coordenada z , vamos usar novamente a equação do plano:

z = 2 - x

z = 2 - 1 - cos ⁡ t

z = 1 - cos ⁡ t

E temos nossa parametrização:

r → t = 1 + cos ⁡ t ,   2 sin ⁡ t ,   1 - cos ⁡ t  

Como z varia de 0 a 2 , substituindo na parametrização da coordenada z , obtemos:

t ∈ [ 0 ,   π ]

Passo 3

Vamos agora calcular o módulo da derivada desse vetor, que será o nosso d s e nós vamos precisar para calcular a integral de linha. Primeiro, derivando, temos:

r → ' t = - sin ⁡ t , 2 cos ⁡ t , sin ⁡ t

Pra calcular o módulo, nós tiramos a raiz quadrada das coordenadas do vetor ao quadrado. Fica assim:

r → ' t = - sin ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t 2 + sin ⁡ t 2

r → ' t = sin 2 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t

r → ' t = 2 ( sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t )

Usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , temos:

r → ' t = 2

Passo 4

A nossa função densidade é dada por σ x ,   y , �� z = x y . Então, usando a parametrização x t = 1 + cos ⁡ t e y t = 2 sin ⁡ t , vamos ter:

σ x ,   y ,   z = 1 + cos ⁡ t ( 2 sin ⁡ t )

σ x ,   y ,   z = 2 sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t sin ⁡ t

Usando a identidade cos ⁡ t sin ⁡ t = 1 2 sin ⁡ ( 2 t ) , temos:

σ x ,   y ,   z = 2 sin ⁡ t + sin ⁡ 2 t 2

Passo 5

Voltando pra nossa integral de linha e substituindo tudo, temos:

m = ∫ γ σ x ,   y ,   z   d s

m = ∫ 0 π 2 sin ⁡ t + sin ⁡ 2 t 2 2   d t

Colocando o produto das constantes do lado de fora da integral:

m = 2 ∫ 0 π sin ⁡ t + sin ⁡ 2 t 2   d t

Integrando em relação a t :

m = 2 - cos ⁡ t - cos ⁡ 2 t 4 0 π

Aplicando os limites de integração:

m = 2 1 - 1 4 - - 1 - 1 4

m = 2 3 4 + 5 4

m = 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4

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