Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo paraboloide z = 4 x 2 + 4 y 2 e pelo plano z = a   ( a > 0 ) , se S tem densidade constante K .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a massa e o centro de massa do sólido que é limitado pelo paraboloide z = 4 x 2 + 4 y 2 e pelo plano z = a   ( a > 0 ) , sabendo que o sólido tem densidade constante K . Vamos primeiro dar uma olhadinha no gráfico dessa região:

Observe que o plano em azul claro é o plano z = a , que a gente não sabe o valor ao certo, mas sabe que ele é positivo. Então, ele pode tá em qualquer lugar ali em cima do plano x y , de qualquer forma, a gente já consegue ter uma ideia de como é a região do sólido que a gente tá analisando.

Pra nos ajudar a definir essa região, vamos usar as coordenadas cilíndricas através das relações:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ z = z

Em seguida, vamos calcular a massa do nosso sólido por meio da integral tripla:

m = ∭ E ρ x ,   y ,   z d V

Onde E é a nossa região de integração e ρ é a função densidade, que no nosso caso é a constante K . De forma parecida, vamos calcular as coordenadas x - ,   y - ,   z -   do centro de massa do sólido usando as equações:

x - = M y z m , ��   y - = M x z m ,     z - = M x y m

Onde M y z , M x z e M x y são os momentos de inércia do sólido em relação aos três planos coordenados. Mas como o parabolóide é cilíndrico em volta do eixo z e tem densidade constante, o centro de massa nos eixos x e y são zero por causa da simetria: M y z = 0 ,   M x z = 0 . E aí, vamos calcular apenas:

M x y = ∭ E z ρ x ,   y ,   z d V

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar convertendo as equações para as coordenadas cilíndricas:

z = 4 x 2 + 4 y 2 = 4 r 2

z = a

Então, a gente acha a interseção das duas superfícies pra achar o raio máximo:

a = 4 r 2 →   r = 1 2 a

Sendo assim, nós vamos ter o raio variando em 0 ≤ r ≤ a / 2 , o ângulo variando no intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 π e a altura do sólido variando em 4 r 2 ≤ z ≤ a . Usando esses intervalos, montamos nossa integral da massa, com ρ x ,   y , z = K :

m = ∭ E ρ x ,   y ,   z d V = K ∫ 0 2 π ∫ 0 a / 2 ∫ 4 r 2 a r   d z d r d θ

Passo 3

Integrando em relação a z , temos:

K ∫ 0 2 π ∫ 0 a / 2 r [ z ] 4 r 2 a d r d θ

= K ∫ 0 2 π ∫ 0 a / 2 ( r a - 4 r 3 ) d r d θ

Agora em relação a r :

K ∫ 0 2 π r 2 2 a - r 4 0 a / 2 d θ

Aplicando os limites de integração em r :

= K ∫ 0 2 π a 2 2 a 2 - a 2 4 d θ

= K ∫ 0 2 π a 2 8 - a 2 16 d θ = K ∫ 0 2 π a 2 16 d θ

Finalmente, integramos em relação a θ :

K a 2 16 θ 0 2 π

Aplicando os limites em θ :

= 2 π K a 2 16 - 0 K a 2 16

Temos nossa massa:

m = π K a 2 8

Passo 4

Como já sabemos que M y z = 0 ,   M x z = 0 , vamos calcular apenas o momento de inércia:

M x y = ∭ E z ρ x ,   y ,   z d V

Substituindo ρ x ,   y ,   z = K junto com os mesmos limites de integração do passo anterior, temos:

M x y = K ∫ 0 2 π ∫ 0 a / 2 ∫ 4 r 2 a r z   d z d r d θ

Integrando em relação a z :

M x y = K ∫ 0 2 π ∫ 0 a / 2 r z 2 2 4 r 2 a d r d θ

= K ∫ 0 2 π ∫ 0 a / 2 a 2 2 - 16 r 4 2 d r d θ

Agora integrando em relação a r :

K ∫ 0 2 π a 2 r 2 4 - 4 r 6 3 0 a / 2 d θ

Aplicando os limites de integração em r :

= K ∫ 0 2 π a 2 4 a 2 2 - 4 3 a 2 6 d θ

= K ∫ 0 2 π a 3 16 - 4 a 3 1 92 d θ = K ∫ 0 2 π a 3 24 d θ

Finalmente, integramos em relação a θ :

K a 3 24 θ 0 2 π

Aplicando os limites em θ :

= 2 π K a 3 24 - 0 K a 3 24

Temos nosso momento de inércia:

M x y = π K a 3 12

Então, observando as equações das coordenadas do centro de massa:

x - = M y z m ,     y - = M x z m ,     z - = M x y m

Com m = π K a 2 8 , calculado no passo 3 , vamos ter x - = 0 , y - = 0 e

z - = π K a 3 12 ∙ 8 π K a 2 = 2 3 a

Ou seja, nosso centro de massa é 0 ,   0 , 2 a 3 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

m = π K a 2 8 ,     0 ,   0 , 2 a 3

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