Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

Ver Teoria

Enunciado

16. Calcule a massa do fio γ t = 2 t , - t , 5 t t ∈ 0,1 ,cuja densidade linear é f x , y , z = x + y + z .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos calcular a massa do fio γ t = 2 t , - t , 5 t cuja densidade linear é dada por f x , y , z = x + y + z .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para obter a massa de um objeto, podemos utilizar o método de integração dado por

M = ∫ t 0 t 1 f γ t · γ ' t d t

Portanto temos que aplicar γ t à f x , y , z e obter o modulo da derivada de γ e substituir tudo isso em M .

Parece complicado? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos aplicar γ t em f para obter f γ t

f x , y , z = x + y + z γ t = 2 t , - t , 5 t → f γ t = 2 t - t + 5 t

f γ t = 6 t

Derivando γ t , temos

γ ' t = d 2 t d t , d - t d t , d 5 t d t

γ ' t = 2 , - 1 , 5

Calculando o modulo desse vetor...

γ ' t = 2 2 + - 1 2 + 5 2 = 30

Substituindo essas informações em M sabendo que t 0 = 0 e t 1 = 1 como foi dado no enunciado.

M = ∫ t 0 t 1 f γ t · γ ' t d t = ∫ 0 1 6 t · 30 d t

M = 30 ∫ 0 1 6 t d t

Calculando a integral...

∫ 6 t d t = 3 t 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 6 t d t = 3

Substituindo o resultado em M ...

M = 30 ∫ 0 1 6 t d t

M = 3 30

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

M = 3 30

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato da hélice x = t, y = cos ⁡ t, z = s e nt, 0 ≤ t ≤ 2 π, se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da sua distância do ponto à
(a) Escreva fórmulas semelhantes à Equação 4 para o centro de massa x C M ,y C M ,z C M de um arame fino com função densidade ρ x ,y ,z e forma da curva espacial C .(b) Determine o centro de massa de
Use o Exercício 22 para encontrar o centroide da região triangular de vértices 0,0 ,( a , 0 ) e ( a , b ) , onde a0 e b0 .
32- Determine a massa e o centro de massa de uma arame fino no formato de um quarto de círculo x 2 + y 2 = r 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , se a função densidade for ρ x , y = x + y
Dado um arame semicircular uniforme de raio 4 cm.Mostrar que o momento de inércia em relação ao diâmetro que passa pelos extremos do arame 8 M , sendo M a massa do arame.