Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

Ver Teoria

Enunciado

Um arame tem o formato da parte da elipse γ : 4 x 2 + 9 y 2 = 36 situada no primeiro quadrante e a densidade no ponto ( x ,   y ) é σ x ,   y = x y . Qual a massa do arame?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a massa do arame de densidade σ x ,   y = x y , sabendo que ele tem o formato de parte da elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 36 situada no primeiro quadrante. É como se o nosso arame fosse essa curvinha aí:

Pra calcular a massa dele, vamos precisar calcular a integral da função densidade sobre a curva γ :

m = ∫ γ σ x ,   y   d s

Como essa é uma integral de linha sobre uma curva, o que vamos fazer é tentar parametrizar essa curva, definindo os limites de integração e escrever a densidade em função da parametrizar. Integrando, teremos nossa massa m .

Vamos lá!

Passo 2

Galera, no geral, uma elipse do tipo:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Tem uma parametrização do tipo:

x t = x 0 + a cos ⁡ t y t = y 0 + b sin ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Esse intervalo significa que a elipse dá uma volta completa. No nosso caso, a elipse encontra-se apenas no primeiro quadrante, então t varia no intervalo 0 , π 2 . Além disso, podemos escrever a equação da elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 36 na forma:

x 2 9 + y 2 4 = 1

Então, a = 3 e b = 2 . Assim, temos a parametrização:

x t = 3 cos ⁡ t y t = 2 sin ⁡ t

t ∈ 0 , π 2

Ou seja, r → t = ( 3 cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t ) . Derivando esse vetor, vamos ter:

r → ' t = ( - 3 sin ⁡ t , 2 cos ⁡ t )

Passo 3

A nossa função densidade é dada por σ x ,   y = x y . Então, usando a parametrização x t = 3 cos ⁡ t e y t = 2 sin ⁡ t , vamos ter:

σ x ,   y = 3 cos ⁡ t ( 2 sin ⁡ t )

σ x ,   y = 6 cos ⁡ t sin ⁡ t

Passo 4

Devemos agora encontrar o termo d s , tirando o móduto de r → ' t :

d s = r → ' t d t

E o módulo de um vetor é dado pela raiz quadrada da soma de suas coordenadas ao quadrado, ou seja, para r → ' t = ( - 3 sin ��� t , 2 cos ⁡ t ) , temos:

d s = - 3 sin ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t 2   d t

d s = 9 sin 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t   d t

Passo 5

Voltando pra nossa integral de linha e substituindo tudo, temos:

m = ∫ γ σ x ,   y   d s

m = ∫ 0 π / 2 ( 6 cos ⁡ t sin ⁡ t ) 9 sin 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t   d t

Lembrando que sin 2 ⁡ t = 1 - cos 2 ⁡ t , vamos ter:

∫ 0 π / 2 ( 6 cos ⁡ t sin ⁡ t ) 9 ( 1 - cos 2 ⁡ t ) + 4 cos 2 ⁡ t   d t

∫ 0 π / 2 ( 6 cos ⁡ t sin ⁡ t ) 9 - 9 cos 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t   d t

∫ 0 π / 2 ( 6 cos ⁡ t sin ⁡ t ) 9 - 5 cos 2 ⁡ t   d t

Passo 6

Pra facilitar um pouco nossa vida nessa integração, vamos fazer uma substituição do tipo:

u = 9 - 5 cos 2 ⁡ t

d u = 10 cos ⁡ t sin ⁡ t d t →   cos ⁡ t sin ⁡ t d t = d u 10

Não podemos esquecer dos limites:

t = 0 → u = 9 - 5 cos 2 ⁡ 0 = 4

t = π 2 → u = 9 - 5 cos 2 ⁡ π 2 = 9

Assim, nossa integral vai ficar:

∫ 0 π / 2 ( 6 cos ⁡ t sin ⁡ t ) 9 - 5 cos 2 ⁡ t   d t = ∫ 4 9 6 u   d u 10

= 3 5 ∫ 4 9 u   d u

Integrando em relação a u :

3 5 2 3 u 3 2 4 9

3 5 2 3 u u 4 9

Aplicando os limites de integração:

3 5 2 3 9 9 - 2 3 4 4

= 3 5 18 - 16 3

3 5 38 3 = 38 5

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

38 5

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato da hélice x = t, y = cos ⁡ t, z = s e nt, 0 ≤ t ≤ 2 π, se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da sua distância do ponto à
(a) Escreva fórmulas semelhantes à Equação 4 para o centro de massa x C M ,y C M ,z C M de um arame fino com função densidade ρ x ,y ,z e forma da curva espacial C .(b) Determine o centro de massa de
Use o Exercício 22 para encontrar o centroide da região triangular de vértices 0,0 ,( a , 0 ) e ( a , b ) , onde a0 e b0 .
32- Determine a massa e o centro de massa de uma arame fino no formato de um quarto de círculo x 2 + y 2 = r 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , se a função densidade for ρ x , y = x + y
Dado um arame semicircular uniforme de raio 4 cm.Mostrar que o momento de inércia em relação ao diâmetro que passa pelos extremos do arame 8 M , sendo M a massa do arame.