Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

Calcule o momento de inércia de um fio retilíneo, homogêneo, de comprimento L, em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o momento de inércia de um fio retilíneo, homogêneo, de comprimento L , em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio.

Para isso temos que o momento de inércia é dado pela seguinte integral de linha:

I P = ∫ r 2 δ x , y d s C

Onde r é a distância de cada ponto até o eixo de referência perpendicular P e δ x , y é a densidade da curva. Mas como nosso fio é homogêneo, a densidade da nossa curva é uma constante k , logo:

I P = k ∫ r 2 d s C

Dessa forma, temos que seguir 3 passos:

  • Parametrizar a curva;
  • Trocar os termos da função pelos termos parametrizados;
  • Encontrar o termo d s .

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Então... para parametrizar a curva, vamos desenhar o pedacinho de reta no plano cartesiano em cima do eixo y :

Como esse fio está em cima do eixo y , então x = 0 . Assim, a parametrização fica:

y = t

Assim, arrumando a parametrização, temos:

r t = 0 , t

Detalhe: veja que o fio varia de 0 até L . Portanto:

0 ≤ t ≤ L

Se colocarmos o eixo x como referência, então podemos inferir que:

r = y

Logo, r = t .

Passo 3

Podemos encontrar d s da seguinte forma:

d s = r ' t d t

Onde:

r t = 0 , t ∴ r ' t = 0,1

Logo, aplicando o módulo, temos:

r ' t = 0 2 + 1 2 = 1

Assim, descobrimos que

d s = d t

Passo 4

Com esses resultados, podemos substituir na nossa integral de linha:

I P = k ∫ r 2 d s C = k ∫ t 2 d t C ∴

I P = k t 3 3 L 0 ∴

I P = k L 3 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

I P = k L 3 3

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