Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 3, Questão 9

  1. Calcule a primeira coordenada do centro de massa de um fio homogêneo que está ao longo de uma curva r ( t ) = t   i + 2 2 5 t 5 2   j + t 4 4   k ,         0 t 2 .

Passo 1

Então, sabemos que a primeira coordenada do centro de massa de um fio é o x - . E para calcula-lo, usamos a essa linda fórmula aqui oh:

x - = C x δ x ,   y ,   z   d s M a s s a   d e   C

Onde C é a curva que nos foi dada e δ x ,   y ,   z é a função de densidade, que no caso é uma constante pelo fato do fio ser homogêneo:

x - = C x k   d s M a s s a   d e   C = k C x   d s M a s s a   d e   C

Então, temos aqui dois problemas basicamente:

  1. Encontrar o resultado dessa primeira integral de linha C x   d s .
  2. Encontrar a Massa dessa curva C .

Bora? :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar aqui então com essa primeira tarefa de encontrar o resultado dessa primeira integral de linha aí!

Como qualquer resolução de integrais de linha a primeira coisa é parametrizar a curva, o que para a nossa alegria, já está feito pra gente :

r ( t ) = t   i + 2 2 5 t 5 2   j + t 4 4   k

Ou, em uma notação mais gentil:

r t = t ,   2 2 5 t 5 2 ,   t 4 4

0 t 2

Em seguida devemos substituir os termos da parametrização na função que estamos trabalhando dentro da integral de linha que no caso é f x ,   y , z = x . Como x = t na parametrização r t = t ,   2 2 5 t 5 2 ,   t 4 4 , então:

f r t = t

Agora no caso só nos falta encontrar esse termo d s . Vem comigo!

Passo 3

Podemos encontrar o termo d s fazendo

d s = r ' t d t

derivando a curva portanto...

r t = t ,   2 2 5 t 5 2 ,   t 4 4       r ' t = 1   ,   2 2 5 5 2 t 3 2   ,   t 3      

r ' t = 1   ,   2   t 3 2   ,   t 3

extraindo o módulo desse vetor derivada...

r ' t = 1 2 + 2 t 3 2 2 + t 3 2

r ' t = 1 + 2 t 3 + t 6

então

d s = 1 + 2 t 3 + t 6   d t

Passo 4

Substituindo tudo então nessa integral de linha que estamos resolvendo:

C x   d s =

0 2 t 1 + 2 t 3 + t 6 d t

Agora é só resolver essa integral simples e ser feliz!

Bem, note que substituição não ia ajudar muito. Porém... 1 + 2 t 3 + t 6 é um trinômio de quadrado perfeito! O que significa que podemos escrever 1 + 2 t 3 + t 6 = 1 + t 3 2

0 2 t 1 + t 3 2   d t

Como t é maior que 0 ...

0 2 t 1 + t 3   d t =

0 2 t + t 4   d t =

t 2 2 + t 5 5 0 2 =

2 + 32 5 = 42 5

Passo 5

Bem, mas o nosso problema ainda não acabou! Devemos encontrar a massa do fio C , e cara, massa? Então também é uma outra integral de linha:

M a s s a   d e   C = C δ x ,   y ,   z   d s

Como a função de densidade é a constante, então:

M a s s a   d e   C = k C d s

Já temos encontrado esse d s e o C basta substituir pelos limites da linha, então:

M a s s a   d e   C = k 0 2 1 + 2 t 3 + t 6   d t

M a s s a   d e   C = k 0 2 1 + t 3   d t

M a s s a   d e   C = k   t + t 4 4 0 2

M a s s a   d e   C = k 2 + 16 4  

M a s s a   d e   C = 6 k

Passo 6

Show de bola, agora é só retornar a coordenada x -   do centro de massa...

x - = k C x   d s M a s s a   d e   C

E substituir os dois resultados:

x - = k 42 5 6 k

= 7 5

Resposta

7 5

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