Exercícios Resolvidos de Circuitos Térmicos

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Enunciado

(Adaptada) Considere uma camada da pele humana exposta para a atmosfera ao redor. Considere uma camada de tecido gorduroso que possua 3   m m de espessura e cuja superfície interna seja mantida a uma temperatura de 36   o C . Em um dia calmo, o coeficiente de tranferência de calor por convecção na supeffíce externa é de 25   W . m - 2 . K - 1 , mas com ventos de 30   k m . h - 1 ele cheg a 65   W . m - 2 . K - 1 . Em ambos os casos, a temperatura do ar ambiente é de - 15   o C .

Dado: k p e l e = 0,2   W . m - 1 . K - 1 .

a Qual é a razão entre as perdas de calor (por unidade de área da pele) em um dia calmo e em um dia de vento?

b Qual será a temperatura da superfície externa da pele em um dia calmo? E em um dia de vento?

c Qual a temperatura que o ar deveria ter no dia calmo para causar a mesma perda de calor que ocorre com a temperatura do ar - 15   o C no dia em que há vento?

Passo 1

A situação do enunciado pode ser esquematizada da seguinte forma:

Vendo o esquema, você consegue prever qual o sentido do fluxo de calor? A temperatura interna da pele ( T s , 1 ) é maior do que a temperatura do ar ( T ∞ ), então a gente espera que o fluxo saia da pele para o ar!

Essa energia térmica é transferida por dois mecanismos: primeiro por condução na pele e depois por convecção para o ar. Beleza! Como existem dois mecanismos de transferência em série, seria legal representarmos o circuito térmico. Então, se liga aí:

No circuito, a gente já consegue identificar quais são as temperaturas de cada superfície (interna e externa) e a temperatura do fluido (ar), além das resistências de condução e de convecção.

O enunciado pede a relação entre as perdas de calor por unidade de área da pele, ou seja, isso é o que a gente chama de fluxo de calor ( q ' ' ). Com base no circuito, a gente tem que:

q ' ' = T s , 1 - T ∞ R e q

Como as resistências estão em série, basta somarmos a resistência de condução com a de convecção:

q ' ' = T s , 1 - T ∞ R c d ' ' + R c v ' '

Ótimo! A gente já sabe T s , 1 e T ∞ e ainda podemos calcular a resistência por condução ( R c d ' ' ). A única variável que a gente vai mudar de uma situação pra outra é a R c v ' ' , porque ela depende do coeficiente de convecção ( h ).

Passo 2

a Qual é a razão entre as perdas de calor (por unidade de área da pele) em um dia calmo e em um dia de vento?

Então, a gente precisa calcular as resistências térmica de convecção ( R c v ' ' ) pro dia calmo e pro dia de vento.

A resistência de condução é dada por:

R c d , c ' ' = L k

Logo:

R c d , c ' ' = 0,003   m 0,2   W . m - 1 . K - 1

R c d , c ' ' = 0,015   m ² . K . W - 1

  • Para o dia calmo, a gente tem que:

R c v , c ' ' = 1 h c

Assim:

R c v , c ' ' = 1 25   W . m - 2 . K - 1

R c v , c ' ' = 0,04   m ² . K . W - 1

Com a resistência calculada, a gente pode calcular o fluxo de calor com:

q c ' ' = T s , 1 - T ∞ R c d ' ' + R c v ' '

q c ' ' = 309   K - 258   K 0,015   m ² . K . W - 1 + 0,04   m ² . K . W - 1

q c ' ' = ~ 927,3   W . m - 2

Passo 3

  • Para o dia de vento, a gente tem que:
  • R c v ,   v ' ' = 1 h v

    Assim:

    R c v , v ' ' = 1 65   W . m - 2 . K - 1

    R c v , v ' ' = ~ 0,015   m ² . K . W - 1

    Com as resistência, o fluxo será:

    q v ' ' = T s , 1 - T ∞ R c d ' ' + R c v ' '

    q v ' ' = 309   K - 258   K 0,015   m ² . K . W - 1 + 0,015   m ² . K . W - 1

    q v ' ' = 1700   W . m - 2

    Dess forma, a razão entre entre as perdas de calor (por unidade de área da pele) em um dia calmo e em um dia de vento ( Y ) será:

    Y = q c ' ' q v ' '

    Logo:

    Y = ( 927,3   W . m - 2 ) 1700   W . m - 2

    Y = 0,545

    Isso quer dizer que a perda de calor num dia calmo equivale a 54,5 % da perda de calor observada em um dia de vento.

    Isso condiz com o mecanismo físico, porque quanto maior a velocidade do fluido, mais fluido passa em uma região para roubar calor em cada intervalo de tempo, então maior é a convecção.

    Passo 4

    b Qual será a temperatura da superfície externa da pele em um dia calmo? E em um dia de vento?

    Bora lembrar do nosso esquema aqui embaixo:

    Fazendo um balanço de energia na superfície externa da pele, a gente nota que:

    E ˙ e - E ˙ s + E ˙ g = E ˙ a

    q c o n d ' ' - q c o n v ' ' + 0 = 0

    Logo, a gente conclui que:

    q c o n d ' ' = q c o n v ' '

    Em termos das resistências térmicas:

    T s , 1 - T s , 2 R c d ' ' = T s , 2 - T ∞ R c v ' '

    Então, a gente sabe que o fluxo de calor de condução é igual ao de convecção, que é igual ao fluxo total, porque a quantidade de energia témrica que passa pelo circuito em determinado tempo é a mesma!

    Então, a gente pode escrever o seguinte:

    q ' ' = T s , 1 - T s , 2 R c d ' ' = T s , 2 - T ∞ R c v ' '

    Isso significa que, pra calcular a temperatura da superfície externa, a gente não precisa fazer no trecho todo, só em um dos trechos: no de condução ou de convecção.

    Vou escolher aqui fazer na condução, porque ela não muda de uma situação pra outra, mas tanto faz, tá bem? Mas tanto faz! ^^

  • Para o dia calmo, a gente tem que:
  • q c ' ' = T s , 1 - T s , 2 ( c ) R c d ' '

    Isolando a temperatura da superfície externa ( T s , 2 ), temos que:

    T s , 2 = T s , 1 - q c ' ' . R c d ' '

    Substituindo os valores que calculamos na letra a), para o dia calmo, temos:

    T s , 2 ( c ) = 309   K - 927,3   W . m - 2 . 0,015   m ² . K . W - 1

    T s , 2 ( c ) = 295,1   K

    Passo 5

  • Para o dia de vento, a gente tem que:

q v ' ' = T s , 1 - T s , 2 ( v ) R c d ' '

Isolando a temperatura da superfície externa ( T s , 2 ), temos que:

T s , 2 = T s , 1 - q c ' ' . R c d ' '

Substituindo os valores que calculamos na letra a), para o dia de vento, temos:

T s , 2 ( v ) = 309   K - 1700   W . m - 2 . 0,015   m ² . K . W - 1

T s , 2 ( v ) = 283,5   K

Passo 4

c Qual a temperatura que o ar deveria ter no dia calmo para causar a mesma perda de calor que ocorre com a temperatura do ar - 15   o C no dia em que há vento?

Bom, agora a gente tem comparar duas situações: o dia de vento com o ar a - 15   o C e o dia calmo com o ar a uma temperatura de T ∞ , c . Em ambas as situações a pele continua com sua superfície a 36   o C .

Então, bora calcular que temperatura T ∞ , c faz com que a perda de calor no dia calmo seja igual a do dia com vento!

Já vimos que o fluxo de calor no dia de vento com a temperatura do ar a - 15   o C equivale a:

q v ' ' = 1700   W . m - 2

Então, igualando com a expressão para o fluxo no dia calmo, teremos:

q v ' ' = q c ' '

q v ' ' = T s , 1 - T ∞ , c R c d ' ' + R c v ' '

Isolando a temperatura do ar T ∞ , c , teremos:

T ∞ , c = T s , 1 + q v ' ' . ( R c d ' ' + R c v ' ' )

Já calculamos a resistência térmica de condução e a de convecção para o dia calmo:

R c d ' ' = 0,015   m ² . K . W - 1                 e                 R c v ' ' = 0,040   m ² . K . W - 1

Dessa maneira, substituindo os valores:

T ∞ , c = 309   K - 1700   W . m - 2 . 0,015 + 0,040   m ² . K . W - 1

T ∞ , c = 215,5   K

Logo, a temperatura que o ar deveria ter no dia calmo para causar a mesma perda de calor que no dia em que há vento equivale a aproximadamente - 57,5   o C .

Resposta

a

Y = 0,545

b

P a r a   o   d i a   c a l m o : T s , 2 ( c ) = 295,1   K   ( o u   22,1   o C ) .

                    P a r a   o   d i a   d e   v e n t o : T s , 2 ( v ) = 283,5   K   ( o u   10,5   o C ) .

c

T ∞ , c = 215,5   K   o u   - 57,5   o C .  

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