Exercícios Resolvidos de Conjunto Fundamental de Solução

Passo 1

A solução da equação homogênea é a combinação linear de y 1 e y 2 assim:

y h = C 1 cos ⁡ x 2 + C 2 x cos ⁡ x 2

Para encontrar a solução particular, vamos utilizar o método da variação de parâmetros.

Assim temos:

y p = u 1 ( x ) cos ⁡ x 2 + u 2 ( x ) x cos ⁡ x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando o método da variação de parâmetros:

y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' u 1 ' u 2 '   = 0 cos ⁡ x 2 1 + x 2  

Então, substituindo os valores de y 1 e y 2 , temos:

cos ⁡ x 2 x cos ⁡ x 2 - 2 x sen ⁡ x 2 - 2 x sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 u 1 ' u 2 '   = 0 cos ⁡ x 2 1 + x 2  

Vixi esse sistema temos que resolver pelo método de cramer, então vamos lá

Passo 3

Vamos lá devemos aplicar a regra de cramer, então temos:

u 1 ' = 0 x cos ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 1 + x 2 - 2 x sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 x cos ⁡ x 2 - 2 x sen ⁡ x 2 - 2 x sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 = - x cos 2 ⁡ x 2 1 + x 2 cos 2 ⁡ x 2 =   - x 1 + x 2

u 2 ' = cos ⁡ x 2 0 - 2 x sen ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 1 + x 2 cos ⁡ x 2 x cos ⁡ x 2 - 2 x sen ⁡ x 2 - 2 x sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 = cos 2 ⁡ x 2 1 + x 2 cos 2 ⁡ x 2 =   1 1 + x 2

Devemos agora integrar para encontrarmos o valor de u 1 e u 2 assim:

u 1 = ∫ - x 1 + x 2 d x

Fazendo a substituição u = 1 + x 2 e d u =   2 x d x então:

u 1 = ∫ - x 1 + x 2 d x   =   - 1 2 ∫ d u u =   - u =   - 1 + x 2

De forma análoga para u 2 :

u 2 = ∫ 1 1 + x 2 d x  

Fazendo a substituição x = tan ⁡ θ e d x = sec 2 ⁡ θ d θ então:

u 2 = ∫ 1 1 + x 2 d x   =   ∫ sec ⁡ θ d θ =   ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ | = ln ⁡ | 1 + x 2 + x |

Assim a solução e a soma da particular com a homogênea:

y = ( C 1 - 1 + x 2 ) cos ⁡ x 2 + ( C 2 + ln ⁡ | 1 + x 2 + x | ) x cos ⁡ x 2

Resposta

y = ( C 1 - 1 + x 2 ) cos ⁡ x 2 + ( C 2 + ln ⁡ | 1 + x 2 + x | ) x cos ⁡ x 2

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