Exercícios Resolvidos de Conjunto Fundamental de Solução

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 165 - 43

Verifique que a dada família a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não homogênea no intervalo indicado.

y " - 4 y ' + 4 y = 2 e 2 x + 4 x - 12

y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + x 2 e 2 x + x - 2 ,     ( - ∞ , ∞ )

Passo 1

Vimos na teoria que a solução geral de uma EDO não homogênea é dada por :

y = y h + y p

Onde y h é a solução geral da equação homogênea associada e y p é a solução particular da equação não homogênea.

Podemos identificar y p = x 2 e 2 x + x - 2 como sendo a solução particular pois os termos não estão multiplicados por constantes como c 1 e c 2 .

Logo y h = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já identificamos y p , agora vamos substituir na equação não homogênea a fim de verificar se é mesmo solução da não homogênea. Primeiro vamos encontrar suas derivadas.

y p = x 2 e 2 x + x - 2

y p ' = 2 x e 2 x + 2 x 2 e 2 x + 1

y p " = 2 e 2 x + 4 x e 2 x + 4 x e 2 x + 4 x 2 e 2 x = 4 x 2 e 2 x + 8 x e 2 x + 2 e 2 x

Substituindo na EDO temos:

y " - 4 y ' + 4 y = 2 e 2 x + 4 x - 12

4 x 2 e 2 x + 8 x e 2 x + 2 e 2 x - 4 2 x e 2 x + 2 x 2 e 2 x + 1 + 4 x 2 e 2 x + x - 2 = 2 e 2 x + 4 x - 12

Ajeitando o lado esquerdo temos:

4 x 2 e 2 x - 8 x 2 e 2 x + 4 x 2 e 2 x + 8 x e 2 x - 8 x e 2 x + 2 e 2 x + 4 x - 4 - 8 = 2 e 2 x + 4 x - 12

Portanto temos:

2 e 2 x + 4 x - 12 = 2 e 2 x + 4 x - 12

Logo y p é mesmo solução particular da equação não homogênea.

Passo 3

Agora vamos analisar y h = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x , que é a solução geral da equação não homogênea associada.

Vimos que a solução geral da equação não homogênea de ordem 2 é dada por:

y h = c 1 y 1 + c 2 y 2

Onde y 1 e y 2 formam o conjunto fundamental de soluções da equação não homogênea.

Temos:

y h = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x

Logo:

y 1 = e 2 x

y 2 = x e 2 x

Agora, temos de verificar se y 1 e y 2 formam mesmo o conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada:

y " - 4 y ' + 4 y = 0

E como faremos isso? Primeiro temos de verificar se y 1 = e 2 x e y 2 = x e 2 x satisfazem equação acima e depois utilizar o teorema do Wrosnkiano para verificar se eles formam mesmo o conjunto fundamental de soluções da EDO.

Passo 4

Vamos verificar primeiro se y 1 = e 2 x é solução da EDO homogênea associada.Calculando as derivadas temos:

y 1 ' = 2 e 2 x

y 1 " = 4 e 2 x

Substituindo temos:

y " - 4 y ' + 4 y = 0

4 e 2 x - 4 2 e 2 x + 4 e 2 x = 0

0 = 0

Portanto y 1 = e 2 x é mesmo solução da homogênea.

Vamos verificar agora se y 2 = x e 2 x é solução da EDO homogênea associada.Calculando as derivadas temos:

y 2 ' = e 2 x + 2 x e 2 x

y 2 " = 2 e 2 x + 2 e 2 x + 4 x e 2 x = 4 x e 2 x + 4 e 2 x

Substituindo temos:

y " - 4 y ' + 4 y = 0

4 x e 2 x + 4 e 2 x - 4 e 2 x + 2 x e 2 x + 4 x e 2 x = 0

Ajeitando:

4 x e 2 x - 8 x e 2 x + 4 x e 2 x + 4 e 2 x - 4 e 2 x = 0

0 = 0

Portanto y 2 = x e 2 x é mesmo solução da homogênea.

Passo 5

Agora só falta verificar se y 1 e y 2 formam o conjunto fundamental de soluções da parte homogênea. O teorema diz assim:

Considere a EDO a seguir:

y " + p ( x ) y ' + q ( x ) y = 0

Seja y 1 e y 2 soluções dessa EDO. Seja também I o intervalo onde p ( x ) e q ( x ) são contìnuas.

y 1 e y 2 formam o conjunto fundamental de soluções em I se W y 1 , y 2 ≠ 0 para todo x ∈ I .

No nosso caso, a EDO é:

y " - 4 y ' + 4 y = 0

Nosso y 1 = e 2 x e y 2 = x e 2 x . Temos também p x = - 4 e q x = 4 , que são contínuas em I = ( - ∞ , ∞ ) . Vamos agora calcular o Wronskiano. Temos:

W y 1 , y 2 = e 2 x x e 2 x 2 e 2 x e 2 x + 2 x e 2 x = e 4 x + 2 x e 4 x - 2 x e 4 x = e 4 x

Podemos ver que W y 1 , y 2 nunca se anula.

Logo, y 1 = e 2 x e y 2 = x e 2 x formam o conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada.

Passo 6

Verificamos então que y p = x 2 e 2 x + x - 2 é mesmo solução particular da EDO não homogênea, e verificamos também que y h = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x é a solução geral da equação homogênea associada.

Portanto y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + x 2 e 2 x + x - 2 é mesmo a solução geral da EDO y " - 4 y ' + 4 y = 2 e 2 x + 4 x - 12 no intervalo ( - ∞ , ∞ ) .

Resposta

y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + x 2 e 2 x + x - 2 é mesmo solução geral da equação y " - 4 y ' + 4 y = 2 e 2 x + 4 x - 12 no intervalo ( - ∞ , ∞ ) .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas