Exercícios Resolvidos de Conjunto Fundamental de Solução

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Enunciado

Sejam y 1 e y 2 soluções da equação diferencial y ' ' + p t y ' + q t y = 0 , em que p   e   q   são contínuas em um intervalo aberto I . Para que y 1 e y 2 formem um conjunto fundamental de soluções da equação é necessário que y 1 e y 2 sejam linearmente independentes em I .

Verdadeiro ou falso?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O enunciado está certíssimo!

Para que duas funções formem um conjunto independentes de soluções é necessário que elas sejam LI, ou seja, linearmente independentes entre si! Assim elas conseguem formar o conjunto todo de soluções!

Passo 2

É que nem quando temos dois vetores com tamanhos diferentes, mas na mesma direção. Eles não formam o R 2 , pois com esses dois, não conseguimos formar todo espaço a partir de combinações lineares.

Por exemplo:

3 i ^ e 4 i ^

Não tem uma combinação linear que consiga um vetor na direção e - y ^ , por exemplo.

Com as funções em uma EDO acontece a mesma coisa, as duas soluções devem ser independentes para poder formar o conjunto completo de soluções.

Assim a afirmativa é verdadeira.

Resposta

v e r d a d e i r o

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique que y = 1 x é uma solução para a equação diferencial não-linear y ' ' = 2 y 3 no intervalo ( 0 ,∞ ) .Mostre que um múltiplo y = c / x não é uma solução para a equação quando c ≠ 0 , ± 1 .
Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral. x 3 y ' ' ' + 6 x 2 y ' ' + 4 x
Verifique que y 1 = 1ey 2 = ln ⁡ x é uma solução para a equação diferencial não-linear y ' ' + y ' 2 = 0 no intervalo ( 0 ,∞ ) . y 1 + y 2 é solução para a equação? c 1 y 1 + c 2 y 2 ,c 1ec 2 constant
Nos problemas 48 e 49, use os resultados do Problema 47.No capítulo 6, veremos que as soluções y 1ey 2 para x y ' ' + y ' + x y = 0 , 0x∞ , são séries infinitas. Suponha que consideremos as condições
Verifique que y 1 = x 3ey 2 = x 3 são linearmente independentes da equação diferencial x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0 em - ∞ ,∞ . Mostre que W y 1 ,y 2 = 0 para todo número real.O resultado da parte (b