Exercícios Resolvidos de Conjunto Fundamental de Solução

PUC-RJ - Cálculo 3 - P1 2014.1 - 3b

Classifique em Verdadeiro ou Falso a afirmação abaixo, justificando.

Todas as soluções da equação diferencial

t 2 y ' ' - 2 y = 0 ,   t > 0

São dadas pela fórmula y t = C 1 t 2 + C 2 t - 1 , onde C 1 e C 2 são constantes.

Passo 1

Vamos começar vendo se t 2 é solução

y 1 t = t 2

y 1 ' t = 2 t

y 1 ' ' t = 2

Substituindo na equação

t 2 2 - 2 t 2 = 2 t 2 - 2 t 2 = 0

Beleza ele é solução.

Vamos ver se t - 1 também vai ser

y 2 t = t - 1

y 2 ' t = - t - 2

y 2 ' ' t = 2 t - 3

Substituindo na equação

t 2 2 t - 3 - 2 t - 1 = 2 t - 1 - 2 t - 1 = 0

Pronto, as duas funções são soluções, precisamos ver agora se elas são soluções linearmente independentes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para ver se são linearmente independentes temos que calcular o Wroskiano e ver se ele é ou não zero.

O Wroskiano é o determinante abaixo

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

W = t 2 t - 1 2 t - t - 2 = t 2 - t - 2 - 2 t t - 1 = - 1 - 2 = - 3 ≠ 0

Passo 3

-

Vamos reescrever agora a nossa EDO da seguinte forma

y ' ' - 2 t 2 y = 0

A função - 2 t 2 é contínua no intervalo - ∞ , 0 ∪ ( 0 , ∞ ) .

Como o Wroskiano é diferente de 0 , essas duas funções são soluções linearmente independentes e a solução da função vai ser

y t = C 1 t 2 + C 2 t - 1

No intervalo - ∞ , 0 ∪ ( 0 , ∞ )

Logo essa afirmação é verdadeira

Resposta

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