Exercícios Resolvidos de Conjunto Fundamental de Solução

Passo 1

Para determinar a relação de dependência entre as funções, precisamos calcular o wronskiano. Para isso, precisamos determinar as derivadas.

f 1 = 2 x - 3 ;     f 2 = 2 x 2 + 1 ;     f 3 = 3 x 2 + x

Derivando

f 1 ' = 2 ;     f 2 ' = 4 x ;       f 3 ' = 6 x + 1

f 1 ' ' = 0 ;       f 2 ' ' = 4 ;       f 3 ' ' = 6

Então, o wronskiano será:

W 2 x - 3 , 2 x 2 + 1 ; 3 x 2 + x = 2 x - 3 2 x 2 + 1 3 x 2 + x 2 4 x 6 x + 1 0 4 6

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Passo 2

Calculando o wronskiano

W = 2 x - 3 4 x 6 + 3 x 2 + x 2 4 - 2 x - 3 6 x + 1 4 - ( 2 x 2 + 1 ) ( 2 ) ( 6 )

W = 48 x 2 - 72 x + 24 x 2 + 8 x - 4 12 x 2 - 1 8 x + 2 x - 3 - 24 x 2 - 12

W = 48 x 2 - 72 x + 24 x 2 + 8 x - 48 x 2 + 72 x - 8 x + 12 - 24 x 2 - 12

W = 0

O wronskiano é nulo. Logo, as funções são linearmente dependentes.

Passo 3

Para determinar a dependência entre elas, vamos utilizar 3 constantes na forma:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x + k 3 f 3 x = 0

E para que elas sejam combinações lineares, pelo menos uma das constantes deve ser diferente de 0.

k 1 2 x - 3 + k 2 ( 2 x 2 + 1 ) + k 3 ( 3 x 2 + x ) = 0

2 x k 1 - 3 k 1 + 2 x 2 k 2 + k 2 + 3 x 2 k 3 + x k 3 = 0

x 2 2 k 2 + 3 k 3 + x 2 k 1 + k 3 - 3 k 1 + k 2 = 0

Então sabemos que:

2 k 2 + 3 k 3 = 0

2 k 1 + k 3 = 0

E

- 3 k 1 + k 2 = 0

Estabelecendo, por exemplo

k 1 = 1

Temos que

k 2 = 3

k 3 = - 2

Então a relação de dependência entre as funções é

2 x - 3 + 3 2 x 2 + 1 - 2 3 x 2 + x = 0

Resposta

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