Exercícios Resolvidos de Conjunto Fundamental de Solução

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Enunciado

Qual dos seguintes pares de função abaixo formam um conjunto fundamental de soluções para a equação y ' ' - 2 y ' + y = 0

Escolha uma opção:

  1. e t ,   - 2 e t
  2. e t ,   9 t + 1 e t
  3. e t ,   e - t

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

Temos uma equação diferencial, linear de ordem dois com coeficientes constantes: então vamos supor uma solução do tipo:

y = A e λ t

E aí a derivada primeira e segunda são:

y ' = A λ e λ t

y ' ' = A λ 2 e λ t  

E pra sabermos quais valores de λ solucionam essa equação (que são os valores de r 1 e r 2 na solução do enunciado) vamos substituir essas expressões na equação diferencial:

y ' ' - 2 y ' + y = 0

A λ 2 e λ t - 2 A λ e λ t + A e λ t = 0

E como A ≠ 0 para termos solução não trivial e e λ t ≠ 0 para qualquer t , então podemos dividir toda essa equação por A e λ t e ficamos com a equação característica:

λ 2 - 2 λ - 1 = 0

Beleza? Agora precisamos achar as soluções dessa equação.

Passo 2

λ 2 - 2 λ + 1 = 0

E agora podemos aplicar Bhaskara para achar as raízes:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = - ( - 2 ) ± ( - 2 ) 2 - 4.1 . ( 1 ) 2.1 = 2 ± 0 2

E daqui saem as duas raízes:

r 1 = r 2 = 1

Como as raízes são iguais precisamos ter uma solução c 1 e t e outra solução que seja linearmente independente a ela!

Para obtermos isso, a maneira mais simples é multiplicar nossa exponencial por um polinômio de ordem um!

Assim a segunda solução fica

c 2 A t + B e t

E a solução geral é:

y = c 1 e t + c 2 A t + B e t

Passo 3

O único par de solução que tem isso é a alternativa (b):

e t ,   9 t + 1 e t

Notem que o argumento das exponenciais deve ser igual! Não podemos mudar isso, pois é a essência da nossa solução!

Tranquilo?

Até a próxima!

Resposta

( b )

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