Exercícios Resolvidos de Conjunto Fundamental de Solução

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Enunciado

Passo 1

Vamos primeiro verificar se as funções são soluções da nossa EDO. Para isso precisamos encontrar suas derivadas e substituir na expressão.

y = x ;     y ' = 1 ;     y ' ' = 0 ; y ' ' ' = 0

Substituindo

x 3 y ' ' ' + 6 x 2 y ' ' + 4 x y ' - 4 y = 0

0 x 3 + 6 x 2 ( 0 ) + 4 x - 4 x = 0

0 = 0

Então a função y = x é solução da EDO. Vamos fazer o mesmo para as outras.

y = x - 2 ;       y ' = - 2 x - 3 ; y ' ' = 6 x - 4 ;     y ' ' ' = - 24 x - 5

x 3 y ' ' ' + 6 x 2 y ' ' + 4 x y ' - 4 y = 0

x 3 ( - 24 x - 5 ) + 6 x 2 ( 6 x - 4 ) + 4 x ( - 2 x - 3 ) - 4 x - 2 = 0

- 24 x - 2 + 36 x - 2 - 8 x - 2 - 4 x - 2 = 0

0 = 0

A função y = x - 2 é solução da EDO.

y = x - 2 ln ⁡ x ;       y ' = x - 3 - 2 x - 3 ln ⁡ x ; y ' ' = - 5 x - 4 + 6 x - 4 ln ⁡ x    

y ' ' ' = 26 x - 5 - 24 x - 5 ln ⁡ x

Substituindo

x 3 y ' ' ' + 6 x 2 y ' ' + 4 x y ' - 4 y = 0

x 3 ( 26 x - 5 - 24 x - 5 ln ⁡ x ) + 6 x 2 ( - 5 x - 4 + 6 x - 4 ln ⁡ x   ) + 4 x ( x - 3 - 2 x - 3 ln ⁡ x ) - 4 x - 2 ln ⁡ x = 0

26 x - 2 - 24 x - 2 ln ⁡ x - 30 x - 2 + 36 x - 2 ln ⁡ x + 4 x - 2 - 8 x - 2 ln ⁡ x - 4 x - 2 ln ⁡ x = 0

0 = 0

Então a função y = x - 2 ln ⁡ x   também é solução da EDO.

Passo 2

Agora, precisamos determinar se existe uma solução que seja combinação linear das funções. Para isso, vamos ver se elas são linearmente dependentes calculando o wronskiano.

f 1 = x ;         f 2 = x - 2 ;       f 3 = x - 2 ln ⁡   x

Derivando

f 1 ' = 1 ;     f 2 ' = - 2 x - 3 ;       f 3 ' = x - 3 - 2 x - 3 ln ⁡ x  

f 1 ' ' = 0 ;       f 2 ' ' = 6 x - 4 ;       f 3 ' ' = - 5 x - 4 + 6 x - 4 ln ⁡ x  

Então, o wronskiano será:

W 2 x - 3 , x 2 + 1 ; 2 x 2 - x = x x - 2 x - 2 ln ⁡ x 1 - 2 x - 3 x - 3 - 2 x - 3 ln ⁡ x     0 6 x - 4 - 5 x - 4 + 6 x - 4 ln ⁡ x

Calculando o wronskiano

W = x - 2 x - 3 - 5 x - 4 + 6 x - 4 ln ⁡ x + x - 2 ln ⁡ x 6 x - 4 - x x - 3 - 2 x - 3 ln ⁡ x 6 x - 4 - x - 2 ( - 5 x - 4 + 6 x - 4 ln ⁡ x )

W = 9 / x 6

W ≠ 0

O wronskiano é diferente de 0. Logo, as funções são linearmente independentes.

Resposta

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Verifique que y = 1 x é uma solução para a equação diferencial não-linear y ' ' = 2 y 3 no intervalo ( 0 ,∞ ) .Mostre que um múltiplo y = c / x não é uma solução para a equação quando c ≠ 0 , ± 1 .
Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral. x 3 y ' ' ' + 6 x 2 y ' ' + 4 x
Verifique que y 1 = 1ey 2 = ln ⁡ x é uma solução para a equação diferencial não-linear y ' ' + y ' 2 = 0 no intervalo ( 0 ,∞ ) . y 1 + y 2 é solução para a equação? c 1 y 1 + c 2 y 2 ,c 1ec 2 constant
Nos problemas 48 e 49, use os resultados do Problema 47.No capítulo 6, veremos que as soluções y 1ey 2 para x y ' ' + y ' + x y = 0 , 0x∞ , são séries infinitas. Suponha que consideremos as condições
Verifique que y 1 = x 3ey 2 = x 3 são linearmente independentes da equação diferencial x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0 em - ∞ ,∞ . Mostre que W y 1 ,y 2 = 0 para todo número real.O resultado da parte (b