Exercícios Resolvidos de Conjunto Fundamental de Solução

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Enunciado

Qual dos seguintes pares de função abaixo formam um conjunto fundamental de soluções para a equação y ' ' + 9 y = 0

Escolha uma opção:

  1. e t cos ⁡ 3 t ,   e t s e n ( 3 t )
  2. Nenhuma alternativa
  3. cos ⁡ - 3 t ,   s e n ( 3 t )

Passo 1

Tudo belezinha?

Temos uma equação diferencial, linear de ordem dois com coeficientes constantes: então vamos supor uma solução do tipo:

y = A e λ t

E aí a derivada primeira e segunda são:

y ' = A λ e λ t

y ' ' = A λ 2 e λ t  

E pra sabermos quais valores de λ solucionam essa equação (que são os valores de r 1 e r 2 na solução do enunciado) vamos substituir essas expressões na equação diferencial:

y ' ' + 9 y = 0

A λ 2 e λ t + 9 A e λ t = 0

E como A ≠ 0 para termos solução não trivial e e λ t ≠ 0 para qualquer t , então podemos dividir toda essa equação por A e λ t e ficamos com a equação característica:

λ 2 + 9 = 0

Beleza? Agora precisamos achar as soluções dessa equação.

Passo 2

λ 2 + 9 = 0

São raízes imaginárias:

λ = ± 3 i

E aí a solução fica uma combinação de senos e cossenos com exponencial. Como relembrar é viver, vamos rever como é a solução mais geral. Se tivermos raízes imaginárias do tipo:

λ = a ± b i

Então a solução é:

y = c 1 e a t s e n b t + c 2 e a t c o s ⁡ ( b t )

Passo 3

No nosso caso a = 0 e b = 3 , então a solução fica assim:

y = c 1 e 0 t s e n 3 t + c 2 e 0 t cos ⁡ 3 t = c 1 s e n 3 t + c 2 c o s ⁡ ( 3 t )

E a alternativa que nos diz isso é a (c) – Lembrem-se que o cosseno é uma função par e que cos ⁡ a = c o s ⁡ ( - a ) .

Tranquilo?

Até a próxima!

Resposta

( c )

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique que y = 1 x é uma solução para a equação diferencial não-linear y ' ' = 2 y 3 no intervalo ( 0 ,∞ ) .Mostre que um múltiplo y = c / x não é uma solução para a equação quando c ≠ 0 , ± 1 .
Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral. x 3 y ' ' ' + 6 x 2 y ' ' + 4 x
Verifique que y 1 = 1ey 2 = ln ⁡ x é uma solução para a equação diferencial não-linear y ' ' + y ' 2 = 0 no intervalo ( 0 ,∞ ) . y 1 + y 2 é solução para a equação? c 1 y 1 + c 2 y 2 ,c 1ec 2 constant
Nos problemas 48 e 49, use os resultados do Problema 47.No capítulo 6, veremos que as soluções y 1ey 2 para x y ' ' + y ' + x y = 0 , 0x∞ , são séries infinitas. Suponha que consideremos as condições
Verifique que y 1 = x 3ey 2 = x 3 são linearmente independentes da equação diferencial x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0 em - ∞ ,∞ . Mostre que W y 1 ,y 2 = 0 para todo número real.O resultado da parte (b