Exercícios Resolvidos de Conjunto Fundamental de Solução

Considere a equação diferencial

x 2 y ' ' - x x + 2 y ' + x + 2 y = 0

  1. Enuncie o teorema de Wronskiano de soluções para equações lineares de ordem 2
  2. Mostre que y 1 x = x e y 2 x = x e x formam um conjunto fundamental de soluções em 0 , ∞
  3. Porque o Wronskiano ser igual a zero em x = 0 não contradiz esse teorema?

Passo 1

a)

O teorema diz

Sejam y 1 e y 2 duas soluções da equação diferencial

y ' ' + p x y ' + q x y = 0

Onde p x e q x são continuas em um intervalo aberto I .

Então y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções em I se o wronskiano é tal que para todo t que pertence ao intervalo vamos ter o wronskiano sendo diferente de 0 .

O wronskiano é definido por

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Para vermos se essas duas soluções formam um conjunto fundamental de soluções primeiro temos que ver se elas são realmente soluções da nossa EDO

x 2 y ' ' - x x + 2 y ' + x + 2 y = 0

Vamos começar fazendo

y 1 = x

y 1 ' = 1

y 1 ' ' = 0

Substituindo na equação vamos ter

x 2 . 0 - x x + 2 . 1 + x + 2 . x = 0

0 - x 2 - 2 x + x 2 + 2 x = 0

0 = 0

Então ela é uma solução da nossa EDO

Vamos fazer agora

y 2 = x e x

y 2 ' = e x + x e x

y 2 ' ' = e x + e x + x e x = 2 e x + x e x

Substituindo na nossa EDO

x 2 . 2 e x + x e x - x x + 2 . e x + x e x + x + 2 . x e x = 0

2 x 2 e x + x 3 e x - x 2 + 2 x e x + x e x + x 2 e x + 2 x e x = 0

2 x 2 e x + x 3 e x - x 2 e x - x 3 e x - 2 x e x - 2 x 2 e x + x 2 e x + 2 x e x = 0

0 = 0

Então ela é uma solução da nossa EDO

Passo 3

Agora que conferimos que elas são soluções vamos calcular seu Wronskiano

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

Então

W = x x e x 1 e x + x e x = x e x + x 2 e x - x e x = x 2 e x

E vamos ter que W é zero somente em x = 0 , como o intervalo que ele deu não inclui o zero, temos que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções em 0 , ∞

Passo 4

c)

Se escrevermos a nossa equação diferencial da forma que está no teorema vamos ter

y ' ' - x + 2 x y ' + x + 2 x 2 y = 0

Repare que o ponto x = 0 não está nas hipóteses do teorema já que as funções

p x = - x + 2 x

E

q x = x + 2 x 2

São descontinuas em x = 0 , então não teremos um intervalo I que tenha o 0 .

Resposta

Demonstração nos passos acima

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