Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações sobre vetores arbitrários u , v , w de V 3 :

I. A igualdade u . v ∧ w = u ∧ v . w é necessariamente válida

II. Se u , v , w = 3 , então u - 2 v , 3 v + w , u + v + w = 7

III. Se { u , v } é linearmente independente e w = u ∧ v , então { u , v , w } é uma base positiva

Está correto o que se afirma em

a) I,II e III

b) III, apenas

c) I e III, apenas

d) II, apenas

e) II e III, apenas

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo?

Vamos lá que essa vai ser de analisar afirmações. Temos 3 afirmações diferentes, e queremos verificar quais são verdadeiras.

Então vamos lá analisar uma a uma, ok??

Passo 2

A primeira afirmação fala que “A igualdade u . v ∧ w = u ∧ v . w é necessariamente válida”.

Galera, sabemos que u . v ∧ w representa o produto misto entre os vetores u , v , w . Nos dois casos, estamos fazendo u , v , w , afinal, não trocamos nenhum vetor de lugar

Então realmente, a igualdade u . v ∧ w = u ∧ v . w é verdadeira em qualquer situação. Isso sempre vai ser o determinante de uma matriz com u , v , w nas linhas, fechou?

Então a primeira afirmação é verdadeira 😉

Passo 3

A segunda afirmação fala que “Se u , v , w = 3 , então u - 2 v , 3 v + w , u + v + w = 7

Então vamos lá calcular esse produto misto pra ver se isso é verdade

u - 2 v , 3 v + w , u + v + w

Podemos dividir em vários mini produtos:

u - 2 v , 3 v + w , u + v + w = u , 3 v , u + u , 3 v , v + u , 3 v , w + u , w , u + u , w , v + u , w , w + - 2 v , 3 v , u + - 2 v , 3 v , v + - 2 v , 3 v , w + - 2 v , w , u + - 2 v , w , v + [ - 2 v , w , w ]

Quando temos um produto misto em que um vetor se repete, ele vai valer 0, ok? Então:

u - 2 v , 3 v + w , u + v + w = 0 + 0 + u , 3 v , w + 0 + u , w , v + 0 + 0 + 0 + 0 + - 2 v , w , u + 0 + 0

u - 2 v , 3 v + w , u + v + w = u , 3 v , w + u , w , v + - 2 v , w , u

Colocando as constantes pra fora:

u - 2 v , 3 v + w , u + v + w = 3 u , v , w + u , w , v - 2 v , w , u

Mas u , w , v = - u , v , w e v , w , u = [ u , v , w ] (pois aqui não trocamos a ordem circular u , v , w )

u - 2 v , 3 v + w , u + v + w = 3 u , v , w - u , v , w - 2 u , v , w

u - 2 v , 3 v + w , u + v + w = 3 u , v , w - 3 u , v , w

Opa, então

u - 2 v , 3 v + w , u + v + w = 0

Eitaaa! Então independente de quem for u , v e w , o produto misto u - 2 v , 3 v + w , u + v + w sempre vai ser 0! Isso acontece porque esses 3 vetores sempre vão ser coplanares 😉

Então, a afirmação 2 é falsa ok?

Passo 4

Por fim, a terceira afirmação fala que “Se { u , v } é linearmente independente e w = u ∧ v , então { u , v , w } é uma base positiva”

Isso vai ser verdade galera, porque o vetor w vai seguir a regra da mão direita de u para v . Como u é o primeiro vetor da base, isso vai ser uma base positiva

Então a afirmação 3 também é verdadeira, fechou?

Logo, a alternativa correta é a letra C 😊

Resposta

c) I e III, apenas